Кубтық теңдеу

$y=(x^3+3x^2-6x-8)/4$ кубтық функциясының графигі

$8x^3+7x^2-4x+1$ теңдеудің бір нақты және екі жалған түбірі болады.

Кубтық теңдеу — үшінші дәрежелі алгебралық теңдеу. Бұл теңдеудің жалпы түрі мынадай:

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0,a\ne 0.$

Кубтық теңдеудің графикті анализін жүргізу үшін координаталардың декартты жүйесінде кубтық парабола қолданылады.

$x=y-\frac{b}{3a}:$ болған жағдайда кубтық теңдеудің жалпы түрі каноникалық түрге келеді:

$y^3+py+q=0,$

мұнда

$q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d}{27a^3},$

$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}=\frac{3ac-b^2}{3a^2}.$

Теңдеудің түбірлері

Дискриминант бойынша

Алгебраның негізгі теоремасына сүйенсек, кубтық теңдеудің әрқашанда 3 түбірі болуы тиіс.

Әр нақты тақ дәрежелі көпмүше бір ғана болсада нақты түбірі болуы қажет. Кубтық теңдеудің барлық түбірлерінің құрамын келесі үш жағдай көрсетеді. Бұл жағдайлар дискриминант арқылы оңай ажыратылады.

$\mathrm{\Delta }=-4b^{3}d+b^2{c}^2-4a{c}^3+18abcd-27a^2{d}^2.$

• Егер Δ > 0 болса, онда теңдеудің үш әр түрлі түбірі болады.
• Егер Δ < 0 болса, онда теңдеудің бір нақты және екі комплексті түйіндес түбірі болады.
• Егер Δ = 0 болса, онда теңдеудің екі түбірі болсын сәйкес келеді.

Виет теоремасы бойынша

Виет теоремасы бойынша $x_1,x_2,x_3$ кубтық теңдеудің түбірлері $a,b,c,d$ коэффициенттерімен келесі арақатынаста болады:

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},$

$x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3=\frac{c}{a},$

$x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}.$

Көрсетілген тепе-теңдіктерді бір-біріне бөлідің нәтижесінде тағыда басқа арақатынастар табуға болады:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=-\frac{c}{d},d\ne 0,$

$\frac{1}{x_1{x}_2}+\frac{1}{x_2{x}_3}+\frac{1}{x_1{x}_3}=\frac{b}{d},d\ne 0.$

Шешу әдістері

• Кардано формуласы
• Безу теоремасы

Әдебиет

• Үлгі:Кітап Үлгі:Ref-ru

Сыртқы сілтемелер

• Кубтық теңдеудің онлайн шешімдері Үлгі:Webarchive
• Кубтық теңдеудің онлайн шешімдері