Кардано формуласы

Кардано формуласы –

$y^3+py+q=0$

түріндегі кубтық теңдеудің түбірлерін комплекс сандар өрісінде табуға арналған формула. Оның өрнектелуі мынадай: Кардано формуласындағы куб түбірлердің мәндерін, олардың көбейтіндісі –p/3-ге тең болатындай етіп алу керек. Ал теңдеудің түбірлерін табу үшін осы мәндерді қосу қажет. Осы жолмен теңдеудің үш түбірі табылады. Кардано формуласы италиялық математик, философ әрі дәрігер Дж.Кардано (1501 – 1576) есімімен аталған. Ол оны алғаш рет 1545 жылы жариялаған. Жалпы тұрдегі кез келген кубтық теңдеу

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

жоғарыда көрсетілген келтірілген түрде кожффициенттері $p$ мен $q$ болатындай жазыла алады:

$p=-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}$

$q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$

керекті мына түрдегі $x=y-\alpha$ айнымалы ауыстыруымен.

Соңғы үшеуін кубтық теңдеуге қойып мынаны табамыз:

$x=y-\frac{b}{3a}$

Формуласы

Q деп:

$Q={\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2.$ белгілейік

Егер кубтық теңдеудің барлық коэффициенттері нақты болса, онда Q да нақты сан болады, ал оның таңбасымен түбірлерінің түрлерін білуге болады:

• Q > 0 — бір нақты түбір және екі түйіндес түбірлер.
• Q = 0 — бір еселік түбір және екі еселік түбірлер, немесе, егер p = q = 0, онда бір үш еселік нақты түбір.
• Q < 0 — үш нақты түбір. Бұл «келтірілмейтін» жағдай, дәл осы жағдайды зерттеу кезінде алғашқы рет комплекс сан ұғымы пайда болды.

Кардано формуласы бойынша, кубтық теңдеудің түбірлері келтірілген түрінде:

$y_1=\alpha +\beta ,$

$y_{2,3}=-\frac{\alpha +\beta }{2}\pm i\frac{\alpha -\beta }{2}\sqrt{3},$

мұндағы

$\alpha =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{Q}},$

$\beta =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}},$

$y^3+py+q$ көпмүшеліктің дискриминанты бұл жағдайда - $\mathrm{\Delta }=-108Q$.

Осы формулаларды пайдалана, $\alpha$-ның әр үш мәні үшін $\alpha \beta =-p/3$ шарты орындалатындай $\beta$ (бұндай $\beta$ мәні әрқашан болады).

Егер кубтық теңдеу нақты болса, онда мүмкіндігінше нақты $\alpha ,\beta$ алған дұрыс.

Дереккөздер:

Үлгі:Stub