Дискриминант

Дискриминант (латынша – бөлуші, ажыратушы) – $a{x}^2+bx+c$ – екі дәрежелі үш мүшенің дискриминанты $b^2-4ac$ болса, x2+px+q үш мүшенің дискриминанты (p/2)2 – q – ға тең. X3+px+q – үш мүшенің дискриминанты. D=-4P3-27Q2. Үш мүшенің нақты түбірлерінің саны дискриминантын таңбасына тәуелді анықталады.”Дискриминант” ғылыми атауын ағылшын математигі Джеймс Сильвестр (1814 – 1897) енгізген.

$p(x)=a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n$ көпмүшесінің Дискримина́нты

$D(p)=a_n^{2n-2}\prod _{i<j}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2$ өргнегінің туындысы, бұл жерде ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ — барлық түбірлер.

Негізгі қасиеттері

• Дискриминант түбірлері еселік болған жайғдайда ғана нөлге тең болады.
• Дискриминант көпмүшенің түбірлеріне қатысты симметриялы көпмүше болып табылады.
• $D(p)=\frac{(-1{)}^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p^{\prime })$, мұнда $R(p,p^{\prime })$ — $p(x)$ көпмүшесінің және оның $p^{\prime }(x)$ туындысының нәтижесі.
  • сонымен қатар, көпмүше дискриминанты

$p(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$

көпмүшесінің дискриминанты келесі $(2n-1)\times (2n-1)$-матрицасының анықтауышына тең:

1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	.	.	0
0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	.	0
0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$
$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	.	.	0
0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	.	0
0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0
0	0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$

Мысалдар

• $a{x}^2+bx+c$ квадраттық үшмүшелігінің дискриминанты $b^2-4ac$ тең. Егер $D>0$ болса, теңдеудің екі түбірі болады. Ол түбірлерді

  $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};$       (1)

формуласымен есептейді.

• ал $D=0$ болған жағдайда, теңдеудің жалғыз түбірі болады және ол

  $x=\frac{-b}{2a};$

формуласымен есептеледі.

• егер $D<0$ болса, теңдеудің шешімі болмайды. (1) формуламен немесе

  $x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.$

формуласымен өрнектелетін екі кешенді түбір бар.

• $a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ көпмүшесінің дискриминанты

$-4a_1^3{a}_3+a_1^2{a}_2^2-4a_0{a}_2^3+18a_0{a}_1{a}_2{a}_3-27a_0^2{a}_3^2.$ тең.

• Сонымен қатар $x^3+px+q$ көпмүшесінің (түберлері Кардано формуласымен есептелетін) дискриминанты $-27q^2-4p^3$ тең.