Безу теоремасы

Безу теоремасы $P(x)$ көпмүшелігін $x-a$ екі мүшелікке бөлгендегі қалдық $P(a)$-ға тең деп тұжырымдайды.

Көпмүшелік коэффициенттері белгілі бір коммутативті бірлігі бар сақинада (мысалы, нақты сандар немесе комплекс сандар өрісінде) жатыр деп саналады.

Дәлелдеу

$P(x)$ көпмүшелігін қалдықпен $x-a$ көпмүшелігіне бөлейік:

$P(x)=(x-a)Q(x)+R(x).$

$\mathrm{deg}R(x)<\mathrm{deg}(x-a)=1$ болғандықтан $R(x)$ — дәрежесі 0-ден аспайтын көпмүшелік. $x=a$ дегенді қойып, $(a-a)Q(a)=0$ болғандықтан $P(a)=R(a)$ екендігін табамыз.

Салдары

• a саны сонда тек сонда, егер $p(x)$ қалдықсыз $x-a$ -ға бөлінсе $p(x)$ көпмүшелігінің түбірі болады (осыдан $P(x)$ көпмүшелігінің түбірлер жиыны сәйкес $P(x)=0$ теңдеуінің шешімдер жиынымен бірдей).
• Бүтін коэффициентті көпмүшеліктің бос мүшесі көпмүшеліктің кез келген бүтін түбіріне қалдықсыз бөлінеді (егер жоғарғы коэффициенті 1 болса, онда барлық рационал түбірлері де бүтін болады).
• α — бүтін коэффициентті A(x) келтірілген көпмүшеліктің бүтін түбірі болсын. Онд акез келген бүтін k саны үшін A(k) саны α-k санына бөлінеді.

Қосымша

Безу теоремасы мен оның салдары рационал коэффициентті полиномиальді теідеулердің түбірін оңай табуға мүмкіндік береді.