Тең бүйірлі үшбұрыш

Үлгі:Көпбұрыш Теңбүйірлі үшбұрыш — бұл ұзындықтары бойынша екі қабырғасы тең үшбұрыш. Бүйір қабырғалары деп тең қабырғаларын, ал соңғысын – табаны деп атайды. Анықтамасы бойынша дұрыс үшбұрыш теңбүйірлі болып табылады, алайда кері пікір дұрыс емес, яғни теңбүйірлі үшбұрыш дұрыс үшбұрыш бола алмайды.

Оның тағы бір керемет қасиеті бар - төбесінен, табанына жалғанған түзу - биссектриса, медиана, не биіктігіне сай келетін жағдайда, ол осылардың бары бола алады.

Қасиеттері

• Теңбүйірлі үшбұрыштың тең қабырғаларына қарама-қарсы жатқан бұрыштар өзара тең. Сондай-ақ осы бұрыштардан түсірілген биссектрисалар, медианалар мен биіктіктері тең болады.
• Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биссектриса, медиана, биіктік пен орта перпендикуляр өзара тең болады. Іштей және сырттай сызылған шеңбердің центрі осы түзулердің бойында жатады.

a — теңбүйірлі үшбұрыштың екі тең қабырғасы, b — үшінші қабырғасы, h — теңбүйірлі үшбұрыштың биіктігі, α мен β — сәйкес бұрыштар, R — сырттай сызылған шеңбердің, ал r — іштей сызылған шеңбердің радиусы болсын.

Қабырғаларын келесі жолмен тауып алуға болады:

• $a=2R\sin \alpha ,b=2R\sin \beta$ (синустар теоремасы)

• $a=\frac{b}{2\cos \alpha }$ (косинустар теоремасының салдары);
• $b=a\sqrt{2(1-\cos \beta )}$ (косинустар теоремасының салдары);
• $b=2a\sin \frac{\beta }{2}$;
• $b=2a\cos \alpha$ (проекциялар туралы теорема).

Іштей сызылған шеңбердің радиусын теңбүйірлі үшбұрыштың белгілі параметрлері бойынша алты түрлі жолмен табуға болады:

• $r=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}$
• $r=\frac{bh}{b+\sqrt{4h^2+b^2}}$
• $r=\frac{h}{1+\frac{a}{\sqrt{a^2-h^2}}}$
• $r=\frac{b}{2}\mathrm{tg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)$
• $r=a\cdot \cos (\alpha )\cdot \mathrm{tg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)$

Бұрыштар келесі әдістермен өрнектелуі мүмкін:

• $\alpha =\frac{\pi -\beta }{2};$
• $\beta =\pi -2\alpha ;$
• $\alpha =\arcsin \frac{a}{2R},\beta =\arcsin \frac{b}{2R}$ (синустар теоремасы).
• Бұрышты сондай-ақ $\pi$ мен $R$-сіз де табуға болады.:

$y=\cos \alpha =\frac{b}{c},\arccos y=x$

Теңбүйірлі үшбұрыштың периметрін келесі екі әдістермен табуға болады:

• $P=2a+b$ (анықтамасы бойынша);
• $P=2R(2\sin \alpha +\sin \beta )$ (синустар теоремасының салдары).

Үшбұрыштың ауданын табу үшін:

$S=\frac{1}{2}{a}^2\sin \beta =\frac{1}{2}ab\sin \alpha =\frac{b^2}{4\tan \frac{\beta }{2}};$

$S=\frac{1}{2}b\sqrt{(a+\frac{1}{2}b)(a-\frac{1}{2}b)}$ .

$S=\frac{2}{1}a\sqrt{\beta }=\frac{2}{1}ab\cos \alpha =\frac{b^1}{2\sin \frac{\beta }{1}};$Үлгі:Geometry-stub