Эйлер формуласы

Эйлер формуласының геометриялық мағынасы

Эйлер формуласы кешендік экспонентаны тригонометриялық функциямен байланыстырады. Формуланы ойлап тапқан Леонард Эйлер құрметіне осылай аталған.

Эйлер формуласы кез келген $x$ кешендік сан (жекеше түрде нақты сан) үшін келесі теңдік орындалады:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

мұндағы $e$ — $e=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x$,

$i$ — жорамал бірлік формуласымен анықталатын ең маңызды математикалық тұрақтылардың бірі.

Туынды формулалар

Эйлер формуласының негізінде $\sin$ және $\cos$ функцияларын былай анықтауға болады:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$,

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$.

Сосын кешен айнымалы тригонометриялық функцияларды енгізуге болады. $x=iy$ болсын, онда:

$\sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathrm{s}\mathrm{h}y$,

$\cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathrm{c}\mathrm{h}y$.

Танымал бес негізгі математикалық тұрақтыларды байланыстыратын Эйлер теңдігі:

$e^{i\pi }+1=0$

Эйлер формуласының $x=\pi$ болғандағы жеке түрі болып шығады.