Тейлор қатары

Тейлор қатары – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады.

Анықтама

$f(x)$ $a$ нүктесі төңірегінде шексіз дифференциалдана алатын функция болсын. Формальды қатар

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$

$f$ функциясының $a$ нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады.

Тейлор формуласы

Теорема:

• $f(x)$ $U(a,ϵ)$ $a$ нүктесінің белгілі төңірегінде $n+1$ туындысы болсын
• Пусть $x\in U(a,ϵ)$
• Пусть $p$ — кез келген оң сан,

онда: $x<a$ үшін $\mathrm{\exists }$ нүктесі $\xi \in (x,a)$ немесе $x>a$ болғанда $\xi \in (a,x)$  :

$f(x)=f(a)+\sum _{k=1}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+{\left(\frac{x-a}{x-\xi }\right)}^p\frac{(x-\xi {)}^{n+1}}{n!p}{f}^{(n+1)}(\xi )$

Кейбір функциялар үшін Маклорен қатарлары

f(x) = 1/(1 + x²) функциясының P_k Тэйлор полиномдарымен x = 0 (қызыл) және x = 1 (жасыл) орталандырылған k = 1, ..., 16 дәрежелі жіктелу аппроксимациялары. Аппроксимациялар (-1,1) және (1-√2,1+√2) сырттарында жақсармайды.

Экспонента:

${\mathrm{e}}^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!},x\in ℂ$

Натурал логарифм:

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}}{n+1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n},$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін

Биномдық жіктеу:

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n,$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін және барлық $\alpha ,$ комплекс ан үшін, мұндағы

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$

Жекеше түрі:

• квадраттық түбір:

$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)n{!}^2{4}^n}{x}^n,$ барлық $|x|<1$ үшін

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n,$ барлық $|x|<1$ үшін

• Шекті геометриялық қатар:

$\frac{1-x^{m+1}}{1-x}=\sum _{n=0}^m{x}^n,$ барлық $x=1,m\in {\mathbb{N}}_0$ үшін

Тригонометриялық функциялар:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1},x\in ℂ$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n},x\in ℂ$

$\mathrm{tg}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1},$ барлық

$\left|x\right|<\frac{\pi }{2},$ үшін, мұндағы $B_{2n}$ — Бернулли сандары

$\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}$ барлық $\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін

$\mathrm{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін

Гиперболалық функция:

$\mathrm{sh}\left(x\right)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1},x\in ℂ$

$\mathrm{ch}\left(x\right)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n},x\in ℂ$

$\mathrm{th}\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}$ барлық $\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$ үшін

$\mathrm{arsh}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін

$\mathrm{arth}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}{x}^{2n+1}$ барлық $\left|x\right|<1$ үшін