Бернулли сандары

Бернулли сандары — дәрежелері бірдей натурал сандардың түріндегі қосындысын есептеу кезінде швейцариялық ғалым Я.Бернулли тапқан (1713) В₀, В₁, В₂, ... рационал сандар тізбегі (мұндағы — биномдық коэффициенттер, n=0, 1,..., m=1, 2, ...). В₁-ден басқа тақ нөмірлі Бернулли сандары нөлге тең, ал жұп нөмірлі Бернулли сандарының таңбасы ауысып отырады (мысалы, алғашқы Бернулли сандарының мәндері мынадай: В₀=1, В₁=–1/2, В₂=1/6, В₃=0, В₄=–1/30, В₅=0, В₆=1/42, В₇=0, В₈=–1/30, В₉=0). Бернулли сандарын есептеуге мүмкіндік беретін рекурренттік қатынастың түрі: В₀=1, n2. Бернулли сандары математикалық анализде, сандар теориясында, жуық есептеулерде кеңінен қолданылады. Бұл сандар алғашқы рет келесі қосындыны есептеу барысында пайда болды:

$\sum _{n=1}^{N-1}{n}^k=\frac{1}{k+1}\sum _{s=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{s})B_s{N}^{k+1-s}.$

Рекурренттік формуласы

Бернулли сандарын есептеу үшін келесі рекурренттік формула бар:

$B_0=1,$

$B_n=\frac{-1}{n+1}\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})B_{n-k},n\in \mathbb{N}.$

Қасиеттері

• Тақ нөмірлі Бернулли сандары, $B_1$-ден басқасы, нөлге тең, ал жұп нөмірлі Бернулли сандарының таңбалары алма кезек ауысып тұрады.
• Бернулли сандары Бернулли көпмүшеліктерінің $B_n(x)$ коэффициенттеріне $x=0$ болғанда тең болады:

$B_n=B_n(0).$

• Бернулли сандары Элементар функцияларды көрсеткішті қатарларға жіктегендегі коэффициенттерде кездеседі. Мысалы:
  • Бернулли сандары үшін қатарлар өндіруші функциясы:

    $\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n!}{x}^n,|x|<2\pi$,

  • $x\mathrm{ctg}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{B}_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}{x}^{2n},|x|<\pi$,
  • $\mathrm{tg}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1},|x|<\pi /2$.
• Эйлер Бернулли сандары мен Риман дзета-функциясы ζ(s) арасындағы байланысты s = 2k үшін тапқан:

$B_{2k}=2(-1{)}^{k+1}\frac{\zeta (2k)(2k)!}{(2\pi {)}^{2k}}.$

Осыдан:

$B_n=-n\zeta (1-n)$ барлық n үшін.

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac{1}{4n}|B_{2n}|,n=1,2,\dots .$

Дереккөздер

Үлгі:Stub