Пуассон интегралы

Пуассон интегралы Дирихле есебінің Лаплас басқаруының шар үшін шешімін табуғы көмектеседі.

Шар ішіндегі u(r, φ) гармоникалық функциясы үшін функциясының u₀ шекарасында мына шарт орындалсын: u(R, φ) = u₀(φ), оның үстіне функцияға келесі тегістік класы ретінде тиесілі: $u(r,\phi )\in C^2(D)\cap C(\bar{D}),u_0(\phi )\in C^1(\partial D)$, где ∂D — D шары шекарасы, ал $\bar{D}$ — оның тұйықталуы. Онда осы Дирихле есебі шешімі Пуассон интегралы арқылы жазылады:

$u(r,\phi )=\frac{R^2-r^2}{{\omega }_{n}R}\underset{\partial D}{\int }\frac{u_0(\psi )}{|r-\psi {|}^n}dS(\psi ),r\in [0;R),$

мұндағы ω_n — бірлік сфера ауданы, ал n — кеңістік өлшемі.

Екі өлшемді кездегі шешуі

Функция

$u(r,\phi )=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n(a_n\cos n\phi +{\tilde{a}}_n\sin n\phi )$

Дирихле есебінің дөңгелектегі Лаплас теңдеуі үшін шешімі екені белгілі. Фурье коэффициенттерін пайдалана отырып осыны түрлендірейік:

$u(r,\phi )=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )d\psi +\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n(\cos n\phi \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )\cos n\psi d\psi +\sin n\phi \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )\sin (n\psi )d\psi )=$

$=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n(\cos n\phi \cos n\psi +\sin n\phi \sin n\psi ))d\psi +\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )d\psi =$

$=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )(\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n\cos n(\phi -\psi ))d\psi .$ Соңғы қосындыны 0≤r<R болғанда есептеуге болады:

$\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n\cos n(\phi -\psi )=\frac{1}{2}+\mathrm{Re}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}{e}^{i(\phi -\psi )}\right)}^n=\frac{1}{2}+\mathrm{Re}\frac{\frac{r}{R}{e}^{i(\phi -\psi )}}{1-\frac{r}{R}{e}^{i(\phi -\psi )}}=$

$=\frac{1}{2}+\mathrm{Re}\frac{\frac{r}{R}{e}^{i(\phi -\psi )}(1-\frac{r}{R}{e}^{-i(\phi -\psi )})}{1-2\frac{r}{R}\cos (\phi -\psi )+{\left(\frac{r}{R}\right)}^2}=\frac{R^2-r^2}{2(R^2+r^2-2Rr\cos (\phi -\psi ))}.$ Осылайша, дөңгелек үшін Пуассон интегралы былай түрленеді:

$u(r,\phi )=\frac{R^2-r^2}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{u_0(\psi )d\psi }{R^2+r^2-2Rr\cos (\phi -\psi )},r\in [0,R).$

Әдебиет

Үлгі:Math-stub