Виет формулалары

Виет формулалары — көпмүшенің коэффиценттерін оның түберлері арқылы өрнектеу формулалары.

Бұл формулаларды түбірлері арқылы көпмүшені табуда, көпмүше түбірлерінің дұрыстығын тексеруді колданған ыңғайлы.

Формуласы

x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + . . . + a_{n},

{\begin{matrix} c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} = - a_{1}, \\ c_{1} c_{2} + c_{1} c_{3} + \dots + c_{1} c_{n} + c_{2} c_{3} + \dots + c_{n - 1} c_{n} = a_{2}, \\ c_{1} c_{2} c_{3} + c_{1} c_{2} c_{4} + \dots + c_{n - 2} c_{n - 1} c_{n} = - a_{3}, \\ c_{1} c_{2} \dots c_{n} = (- 1)^{n} a_{n} \end{matrix}

Айталық,

x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + . . . + a_{n},

келтірілген көпмүшесінің нақты n түбірі бар болсын: $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ . Мұнда көпмүшенің k еселік түбірі k рет қайталанады. Онда

(x - c_{1}) (x - c_{2}) \dots (x - c_{n})

теңдігі орындалады. Осыдан жақшаларды ашып, х-тің бірдей дәрежелерінің алдындағы коэфиценттерді салыстырсақ, онда

\begin{matrix} a_{1} & = & - (c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n}) \\ a_{2} & = & c_{1} c_{2} + c_{1} c_{3} + \dots + c_{1} c_{n} + c_{2} c_{3} + \dots + c_{n - 1} c_{n} \\ a_{3} & = & - (c_{1} c_{2} c_{3} + c_{1} c_{2} c_{4} + \dots + c_{n - 2} c_{n - 1} c_{n}) \\ \dots \\ a_{n - 1} & = & (- 1)^{n - 1} (c_{1} c_{2} \dots c_{n - 1} + c_{1} c_{2} \dots c_{n - 2} c_{n} + \dots + c_{2} c_{3} . . . c_{n}) \\ a_{n} & = & (- 1)^{n} c_{1} c_{2} \dots c_{n} \end{matrix} .

өрнегін аламыз.

Егер $x_{1}$ және $x_{2}$ — $a x^{2} + b x + c = 0$ квадрат теңдеуінің түбірлері болса, онда формула келесі түрде болады:

{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}

Дербес жағдайда, егер $a = 1$ болса (келтірілген теңдеу $x^{2} + p x + q = 0$ ), онда формула келесі түрде болады:

{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - p \\ x_{1} x_{2} = q \end{matrix}

.

Егер $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ — $p (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ кубтық теңдеуінің түберлері болса, онда формула келесі түрде болады:

{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a} \\ x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a} \end{matrix}

.