Векторлық көбейтінді

Векторлық көбейтінді үшөлшемді кеңістікте.

$𝐚$ векторы мен $𝐛$ векторының ${ℝ}^3$ кеңістігіндегі векторлық көбейтіндісі деп келесі шарттарды қанағаттандарытын $𝐜$ векторын айтады:

• $𝐜$ векторының ұзындығы $𝐚$ және $𝐛$ векторларының ұзындықтарының және олардың арасындағы $\phi$ бұрышының синусының көбейтіндісіне тең: $\left|𝐜\right|=\left|𝐚\right|\left|𝐛\right|\sin \phi$;
• $𝐜$ векторы әр $𝐚$ және $𝐛$ векторларына ортогональ ;
• $𝐜$ векторыны $𝐚𝐛𝐜$ векторлар үштігі оң болатындай бағытталған;
• ${ℝ}^7$ кеңістігі үшін $𝐚,𝐛,𝐜$ векторлар үштігінің ассоциативтігі орындалу қажет.

Белгілеуі:

$𝐜=\left[𝐚𝐛\right]=[𝐚,𝐛]=𝐚\times 𝐛$

Векторлық көбейтіндіні алғаш рет 1846 жылы енгізген — У. Гамильтон.

Оң қол ережесімен векторлық көбейтінді бағытын анықтау

Қасиеттері

Геометриялық қасиеттері

1 сурет: Параллелограмм ауданы векторлық көбейдінді модуліне тең.

2 сурет: Параллелепипед көлемін есептеудегі векторлардың векторлық және скаляр көбейтінділері; пунктир сызықтар c векторының a × bвекторына және a-ның b × c векторына проекцияларын көрсетеді, алдымен скаляр көбейтінділерді есептейді.

• Екі нөлдік емес векторлардың коллинеарлығы үшін олардың векторлық көбейтіндісінің нөл болуы қажет және жеткілікті.
• Векторлық көбейтінді $[𝐚𝐛]$ модулі ортақ нүктеге келтірілген $𝐚$ және $𝐛$ (1 суретті қара) векторларымен тұрғызылған параллелограммның $S$ ауданына тең
• Егер$𝐞$ — $𝐚$ және $𝐛$ векторларына ортогональ бірлік вектор болса, ал $𝐚,𝐛,𝐞$ — оң үштік, $S$ — $𝐚$ және $𝐛$ векторларымен тұрғызылған параллелограмм болса, онда келесі формула орындалады:

$[𝐚,𝐛]=S𝐞$

• Егер $𝐜$ — кез келген вектор, $\pi$ — осы вектор жатқан кез келген жазықтық, $𝐞$ — осы жазықтықтағы бірлік вектор және бірлік вектор $𝐜$ векторына ортогональ, $𝐠$ — $\pi$ жазықтығына ортогональ бірлік вектор және $𝐞𝐜𝐠$ үштік векторлары оң болса, онда $\pi$ жазықтығында жатқан кез келген $𝐚$ векторы үшін келесі өрнек орындалады

$[𝐚,𝐜]={\mathrm{P}\mathrm{r}}_{𝐞}𝐚\left|𝐜\right|𝐠.$

• Векторлық және скаляр көбейтінділерді пайдалан отырып a, b және c векторларымен тұрғызылған (бір нүктеге келтіріліп, 2 суретті қара) параллелепипед көлемін есептеуге болады . Бұндай үш вектор көбейтіндісін аралас деп атайды.

$V=|𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)|.$

Суретте көрсетілгендей көлем екі әдіспен есептеледі: геометриялық нәтижесі тіпті «скаляр» және «векторлық» көбейткіштерді орындарымен ауыстырғаннан да өзгермейді:

$V=𝐚\mathbf{\times }𝐛\mathbf{\cdot }𝐜=𝐚\mathbf{\cdot }𝐛\mathbf{\times }𝐜.$

Алгебралық қасиеттері

Өрнектері	Сипаттамасы
$[𝐚,𝐛]=-[𝐛,𝐚]$	Антикоммутативтілік қасиеті
$[\left(\alpha 𝐚\right),𝐛]=[𝐚,\left(\alpha 𝐛\right)]=\alpha [𝐚,𝐛]$	скалярға көбейтуге қатысты ассоциативтілік қасиеті
$[(𝐚+𝐛),𝐜]=[𝐚,𝐜]+[𝐛,𝐜]$	қосу бойынша дистрибутивтілік қасиеті
$[[𝐚,𝐛],𝐜]+[[𝐛,𝐜],𝐚]+[[𝐜,𝐚],𝐛]=0$	тождество Якоби, выполняется в ${ℝ}^3$ и нарушается в ${ℝ}^7$
$[𝐚,𝐚]=\mathrm{𝟎}$
$[𝐚,[𝐛,𝐜]]=𝐛(𝐚,𝐜)-𝐜(𝐚,𝐛)$	«БАЦ минус ЦАБ» формуласы, Лагранж теңдігі
$|[𝐚,𝐛]{|}^2+(𝐚,𝐛{)}^2=|𝐚{|}^2|𝐛{|}^2$	кватерниондар нормасының $|𝐯𝐰|=|𝐯||𝐰|$ мультипликативтілік жекеше түрі
$([𝐚,𝐛],𝐜)=(𝐚,[𝐛,𝐜])$	бұл өрнек мәнін $a$, $b$, $c$ векторлардың аралас көбейтіндісі деп атайды, $(a,b,c)$ немесе $⟨a,b,c⟩$ деп белгілейді

Декарттық координаттардағы өрнектелулері

Егер екі $𝐚$ және $𝐛$ векторлары өз тікбұрышты декарттық координаттарымен анықталған болса, дәлірек айтқанда — ортокелтірілген базисте

$𝐚=(a_x,a_y,a_z)$

$𝐛=(b_x,b_y,b_z)$

ал координаттар жүйесі оң болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі былай өрнектеледі

$[𝐚,𝐛]=(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x).$

Формуланы жаттау үшін матрица анықтауышын пайдаланған жөн:

$[𝐚,𝐛]=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$

немесе

$[𝐚,𝐛{]}_i=\sum _{j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k,$

мұндағы${\epsilon }_{ijk}$ — Леви-Чивит белгісі.

Егер координаттар жүйесі теріс болса, онда

$[𝐚,𝐛]=(a_z{b}_y-a_y{b}_z,a_x{b}_z-a_z{b}_x,a_y{b}_x-a_x{b}_y).$

Жаттау үшін дәл солай:

$[𝐚,𝐛]=-\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$

немесе

$[𝐚,𝐛{]}_i=-\sum _{j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k.$