Қайтымды теңдеу

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0=0$ түріндегі алгебралық теңдеуді қайтымды деп атайды. Бұл теңдеудің ортасындағы позицияға қатысты симметриялы коэффициенттері тең болса, яғни, $a_{n-k}=a_k$, мұнда k = 0, 1, …, n. Кейді мұндай теңдеулерді симметриялы теңдеулер деп те атайды.

Төртінші дәрежелі теңдеу

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$ түріндегі төртінші дәрежелі қайтымды теңдеуді алайық, мұнда a, b және c — кез келген сандар, сондай-ақ $a\ne 0$.

Осындай теңдеулерді шешу алгоритмі:

• теңдеудің оң жағын да, сол жағын да $x^2$ бөлу. $a\ne 0$ болған жағдайда x = 0 бұл теңдеудің түбірі бола алмайды;
• топтастыру арқылы теңдеуді келесі түрге келтіру: $a(x^2+\frac{1}{x^2})+b(x+\frac{1}{x})+c=0$;
• жаңа айнымалы еңгізу $t=x+\frac{1}{x}$, онда $t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$ теңдігі орындалады, яғни, $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$;
• Айнымалы еңгізу арқылы алған теңдеу квадрат теңдеу болып саналады: $a{t}^2+bt+c-2a=0$;
• теңдеуді шешіп, бастапқы айнымалыны есептеу.

Модификациялынған және жалпыланған төртінші дәрежелі теңдеу

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2-bx+a=0$ модификациялынған қайтымды төртінші дәрежелі теңдеуді $t$ айнымалысына қатысты $t=x-\frac{1}{x}$ деген еңгізу жүргізу арқылы квадрат теңдеуге келтіріп алуға болады.

Жалпыланған төртінші дәрежелі теңдеуді $t=bx+\frac{d}{x}$ деген алмастыру жүргізу арқылы квадрат теңдеуге келтіріп алуға болады. Барлық $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$ төртінші дәрежелі теңдеулердің ішінде бұл теңдеулер клесі коэффициенттік қатынаспен ерекшеленеді:

$\frac{e}{a}={\left(\frac{d}{b}\right)}^2.$

Бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулер

Жоғары дәрежелі қайтымды теңдеулер үшін келесі тұжырымдар орындалады:

• Жұп дәрежелі қайтымды теңдеуді

$x+\frac{1}{x}=t$ деген алмастыру жүргізу арқылы екі есе кші дәрежелі теңдеуге келтіріп алуға болады.

• Тақ дәрежелі қайтымды теңдеудің міндетті түрде x = −1 деген түбірі болады.

Тағы қараңыз

• Биквадрат теңдеу
• Палиндром

Сыртқы сілтемелер

• The Fundamental Theorem for Palindromic PolynomialsҮлгі:Ref-en