Фибоначчи сандары

Фибоначчи сандары – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … қайталама сан тізбегінің (Фибоначчи қатары) элементтері. Фибоначчи сандарының рекурренттік қатынастары

$F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2},n⩾2.$

арқылы беріледі. Фибоначчи сандарын 1202 жылы италиялық математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) тапқан.

Бине формуласы

Бине формуласы $F_n$ мүшелерін nге қатысты функция ретінде өрнектейді:

$F_n=\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n}{\sqrt{5}}=\frac{{\phi }^n-(-\phi {)}^{-n}}{\phi -(-\phi {)}^{-1}}=\frac{{\phi }^n-(-\phi {)}^{-n}}{2\phi -1}$,

мұндағы $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — алтын қима. Сонымен қатар $\phi$ мен $(-\phi {)}^{-1}=1-\phi$ сипаттауыш $x^2-x-1=0$ теңдеуінің түбірлері болып табылады.

Бине формуласы бойынша кез келген $n⩾0$ үшін, $F_n$ $\frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}$ санына ең жақын бүтін сан болып табылады, яғни $F_n=\lfloor \frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}\rceil$. Жеке түрде, $n\to \mathrm{\infty }$ болғанда $F_n\sim \frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}$ асимптотика орындалады.

Бине формуласы аналитикалық келесі түрде жалғастыруға болады:

$F_z=\frac{1}{\sqrt{5}}({\phi }^z-\frac{\cos \pi z}{{\phi }^z})$

Ал $F_{z+2}=F_{z+1}+F_z$ теңдігі кез келген комплекс сан z үшін орындалады.

Теңдіктер

• $F_1+F_2+F_3+\dots +F_n=F_{n+2}-1$

• $F_1+F_3+F_5+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}$

• $F_2+F_4+F_6+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1$

• $F_{n+1}{F}_{n+2}^{}-F_n{F}_{n+3}=(-1{)}^n$

• $F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots +F_n^2=F_n{F}_{n+1}$

• $F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$

• $F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$

• $F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3$

• $F_{5n}=25F_n^5+25(-1{)}^n{F}_n^3+5F_n$

Жалпы формулалар:

• $F_{n+m}^{}=F_{n-1}{F}_m+F_n{F}_{m+1}=F_{n+1}{F}_{m+1}-F_{n-1}{F}_{m-1}$

• $F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}{F}_{kn}+F_n{F}_{kn+1}$

• $F_n^{}=F_l{F}_{n-l+1}+F_{l-1}{F}_{n-l}$

• Фибоначчи сандары континуанталар мәндері ретінде бірліктер жиынында өрнектеле алады: $F_{n+1}=K_n(1,\dots ,1)$, сол дегеніміз

$F_{n+1}=\det \left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& \cdots & 0\\ -1& 1& 1& \ddots & ⋮\\ 0& -1& \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & 0& -1& 1\end{array}\right)$, сонымен қатар $F_{n+1}=\det \left(\begin{array}{ccccc}1& i& 0& \cdots & 0\\ i& 1& i& \ddots & ⋮\\ 0& i& \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & i\\ 0& \cdots & 0& i& 1\end{array}\right)$,

мұндағы матрицалар өлшемі $n\times n$, i — жалған бірлік.

• Фибоначчи сандарын Чебышев көпмүшеліктерімен өрнектеуге болады:

$F_{n+1}=(-i{)}^n{U}_n\left(\frac{-i}{2}\right)=(-i{)}^n{T}_n(-i),$

$F_{2n+2}=U_n\left(\frac{3}{2}\right)=T_n(3).$