Тригонометриялық үйлесімдіктер

Тригонометриялық үйлесімдіктер — ортақ анықталу облысындағы барлық аргументтері үшін орындалатын тригонометриялық функциялардың математикалық өрнектері.

Негізгі тригонометриялық формулалар

Формула	аргументтің мүмкін болатын мәндері	Нөмірі
${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$	$\mathrm{\forall }\alpha$	(1)
${\mathrm{tg}}^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\sec }^2\alpha$	$\alpha \ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$	(2)
${\mathrm{ctg}}^2\alpha +1=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }={\mathrm{cosec}}^2\alpha$	$\alpha \ne \pi n,n\in \mathbb{Z}$	(3)

(1) формула Пифагор теоремасының салдары болып табылады. (2) жіне (3) формулалар (1) формуланы ${\cos }^2\alpha$ мен ${\sin }^2\alpha$ сәйкесінше бөлгенде шығады.

Аргументтерді қосу формуласы

Аргументтерді қосу формуласы
$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$	(5)
$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$	(6)
$\mathrm{tg}(\alpha \pm \beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha \pm \mathrm{tg}\beta }{1\mp \mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }$	(7)
$\mathrm{ctg}(\alpha \pm \beta )=\frac{\mathrm{ctg}\alpha \mathrm{ctg}\beta \mp 1}{\mathrm{ctg}\beta \pm \mathrm{ctg}\alpha }$	(8)

(7) Формула (5) формуласын (6) формуласына бөлгенде шығады. Ал (8) — (6) формуласын (5) формуласына Үлгі:Hider

Қос бұрыш формуласы

Қос бұрыш формулалары (5), (6) , (7) және (8) формулаларынан β =α десек шығады:

Қос бұрыш формулалары
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$	(23)
$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$	(24)
$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }$	(25)
$\mathrm{ctg}2\alpha =\frac{{\mathrm{ctg}}^2\alpha -1}{2\mathrm{ctg}\alpha }$

Үш бұрыштың формуласы

Үш бұрыштың формулалары
$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$
$\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$
$\mathrm{tg}3\alpha =\frac{3\mathrm{tg}\alpha -{\mathrm{tg}}^3\alpha }{1-3{\mathrm{tg}}^2\alpha }$
$\mathrm{ctg}3\alpha =\frac{3\mathrm{ctg}\alpha -{\mathrm{ctg}}^3\alpha }{1-3{\mathrm{ctg}}^2\alpha }$

Дәреже төмендету формулалары

Дәреже төмендету формулалары (24) формулаларынан шығады:

Синус		Косинус		Көбейтінді
${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$	(26)	${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$	(27)	${\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{1-\cos 4\alpha }{8}$
${\sin }^3\alpha =\frac{3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}$		${\cos }^3\alpha =\frac{3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}$		${\sin }^3\alpha {\cos }^3\alpha =\frac{3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}$
${\sin }^4\alpha =\frac{3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}$		${\cos }^4\alpha =\frac{3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}$		${\sin }^4\alpha {\cos }^4\alpha =\frac{3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}$
${\sin }^5\alpha =\frac{10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}$		${\cos }^5\alpha =\frac{10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}$		${\sin }^5\alpha {\cos }^5\alpha =\frac{10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}$

Функциялар көбейтіндісін түрлендіру формулалары

Функциялар көбейтіндісін түрлендіру формулалары
$\sin \alpha \sin \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{2}$	(28)
$\sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}$	(29)
$\cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )}{2}$	(30)

Функциялар қосындысы формулалары

Функциялар қосындысы формулалары
$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin \frac{\alpha \pm \beta }{2}\cos \frac{\alpha \mp \beta }{2}$	(31)
$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$	(32)
$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$	(33)
$\mathrm{tg}\alpha \pm \mathrm{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }$	(34)
$\mathrm{ctg}\alpha \pm \mathrm{ctg}\beta =\frac{\sin (\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }$	(35)

Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу

• $\sin x=a.$

Егер $|a|>1$ — нақты шешуі жоқ.

Егер $|a|⩽1$ — мына $x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n;n\in \mathbb{Z}.$ түрдегі сандар шешімі болып табылады

• $\cos x=a$.

Егер $|a|>1$ — нақты шешуі жоқ.

Егер $|a|⩽1$ — мына $x=\pm \arccos a+2\pi n;n\in \mathbb{Z}.$ түрдегі сандар шешімі болып табылады

• $\mathrm{tg}x=a.$

Мына $x=\mathrm{arctg}a+\pi n;n\in \mathbb{Z}.$ түрдегі сандар шешімі болып табылады

• $\mathrm{ctg}x=a.$

Мына $x=\mathrm{arcctg}a+\pi n;n\in \mathbb{Z}.$ түрдегі сандар шешімі болып табылады

Әмбебап тригонометриялық алмастыру

Үйлесімдіктер тек екі жағы (яғни $\alpha \ne \pi +2\pi n$) бар болғанда ғана мағыналы болады.

• $\sin \alpha =\frac{2\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+{\mathrm{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}$

• $\cos \alpha =\frac{1-{\mathrm{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\mathrm{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}$

• $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}}{1-{\mathrm{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}$

Қосымша аргумент (Юнис тәсілі)

$a\sin x\pm b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x\pm \arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$

$a\cos x\pm b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos (x\mp \arccos \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})$

Тригонометриялық функциялардың комплекс түріндедегі түрі

Эйлер формуласы кез келген нақты $x$ үшін келесі теңдік орындалады дейді:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

мұндағы $e$ — натурал логарифм негізі,

$i$ — жалған бірлік.

Эйлер формуласымен $\sin x$ пен $\cos x$ функцияларын былай анықтауға болады:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$,

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$.

Содан:

$\mathrm{tg}x=\frac{i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}$

$\mathrm{ctg}x=\frac{i(e^{ix}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}}$