Толық кеңістік

Толық кеңістік - кез келген фундаменталды тізбегінің шектік нүктесі өзінде жататын метрлік кеңістік. Толық емес кеңістіктер үшін толықтыру операциясын орындау арқылы толық кеңістік шығарып алуға болады. Бұл жағдайда бастапқы кеңістік толықтырылған кеңістіктегі тығыз кеңісітк деп қарастыруға болады.

Толықтыру

Кез келген метрикалық $X=(X,\rho )$ кеңістікті $Y$ метрикасы $X$ метрикасын жалғастыратындай, ал $X$ ішкеңістігі $Y$-те барлық жерде тығыз болатындай $Y$ толық кеңістігіне енгізуге болады. Бұндай $Y$ кеңістікті $X$ толықтыруы деп атап $\overline{X}$ деп белгілейді.

Тұрғызу

$X$ іргелі тізбектер жиынындағы метрикалық $X=(X,\rho )$ кеңістігі үшін эквиваленттік сәйкестігін орнатуға болады

$(x_n)\sim (y_n)\iff \lim \rho (x_n,y_n)=0.$

Келесідегідей анықталатын метрикасы бар эквиваленттік класстар жиыны $\overline{X}$

$\overline{\rho }((x_n),(y_n))=\lim \rho (x_n,y_n),$

метрикалық кеңістік болып табылады. Ал $(X,\rho )$ кеңістігі изометрлік түрде оған келесі түрде енгізіле алады: $x\in X$ нүктесіне $x_n=x$ тұрақты тізбек класы сәйкес келеді. Құрылған $(\overline{X},\overline{\rho })$ кеңістігі $X$ кеңістігінің толықтыруы болып табылады.