Люк теоремасы

Математикада, Люк теоремасы деп $(\binom{m}{n})$ биномдық коэффициенттің p жай санға бөлгендегі қалдық туралы тұжырымдаманы айтады:

(\binom{m}{n}) \equiv \prod_{i = 0}^{k - 1} (\binom{m_{i}}{n_{i}}) (\mod p),

мұндағы $m = (m_{k - 1}, \dots, m_{0})_{p}$ және $n = (n_{k - 1}, \dots, n_{0})_{p}$ — m мен n сандарының p-лық санақ жүйесіндегі өрнектелуі.

Жекеше түрде, $(\binom{m}{n})$ биномдық коэффициент p жай санына бүтіндей сонда тек сонда, егер n санының кем дегенде бір p-лық цифры m санының сйкес цифрынан асса бөлінеді.

Бұл теореманы алғашқы рет Люка Франсуа Эдуард Анатоль 1878 жылы ашқан.

Дәлелдеу

$G F (p)$ Шекті өрісіндегі $(x + 1)^{m}$ көпмүшелігіндегі $x^{n}$ мүшесіндегі коэффициентті қарастырайық. Бір жағынан ол — $(\binom{m}{n})$ . Ал басқа жағынан,

(x + 1)^{m} = \prod_{i = 0}^{k - 1} (x + 1)^{m_{i} p^{i}} \equiv \prod_{i = 0}^{k - 1} (x^{p^{i}} + 1)^{m_{i}} (\mod p),

болғандықтан соңғы көбейтіндіден $x^{n}$ коэффициентін алу үшін нөлдік көбейткіштен $x^{n_{0}}$ дегі коэффицинтті алып, ал біріншіден — $x^{n_{1} p}$ коэффициентін, жалпы $i$ -ші көбейткіштен — $x^{n_{i} p^{i}}$ коэффициентін. Коэффициенттерді теңестіре, табатынымыз: $(\binom{m}{n}) \equiv \prod_{i = 0}^{k - 1} (\binom{m_{i}}{n_{i}}) (\mod p) .$

Әдебиет

Люк теоремасы

Дәлелдеу

Әдебиет

Навигация мәзірі

Іздеу