Лежандр нышаны

Лежандр нышаны — сандар теориясында пайдаланылатын функция. Француз математигі А. М. Лежандр 1785 жылы енгізген. Лежандр нышаны Якоби нышанының жеке түрі, ал ол өз кезегінде Кронекера — Якоби нышанының жекеше түрі болып табылады.

Анықтама

$a$ — бүтін сан, ал $p$ — тақ жай сан болсын. Лежандр нышаны $(\frac{a}{p})$ былай анықталады:

$(\frac{a}{p}) = 0$ , егер $a$ саны $p$ санына бөлінсе.
$(\frac{a}{p}) = 1$ , егер $a$ саны $p$ модулі бойынша квадраттық шегерім болса, яғни $x$ бүтін саны $x^{2} \equiv a (\mod p)$ қанағаттандыратындай табылса.
$(\frac{a}{p}) = - 1$ , егер $a$ саны $p$ модулі бойынша квадраттық шегерім болса

Мультипликативтілік: $(\frac{a b}{p}) = (\frac{a}{p}) (\frac{b}{p})$ .
Егер $a \equiv b (\mod p)$ , онда $(\frac{a}{p}) = (\frac{b}{p})$ .
$(\frac{1}{p}) = 1 .$
$(\frac{- 1}{p}) = (- 1)^{(p - 1) / 2} .$
$(\frac{2}{p}) = (- 1)^{(p^{2} - 1) / 8} .$
Егер $q$ — $p$ санына тең емес жай сан болса, онда $(\frac{q}{p}) (\frac{p}{q}) = (- 1)^{\frac{p - 1}{2} \cdot \frac{q - 1}{2}}$ — өзаралық квадраттық заңының жекеше түрі.
$1 ⩽ a ⩽ p - 1$ сандары арасында тура жартысы үшін Лежандр нышаны +1, ал қалған жартысыныкі — −1.
Лежандр нышанын $p > 2$ болғанда Эйлер формуласы арқылы есептеуге болады: $(\frac{a}{p}) \equiv a^{(p - 1) / 2} (\mod p)$ .