Кері тригонометриялық функциялар

Кері тригонометриялық функциялар (аркфункциялар; Үлгі:Lang-la — доға) — тригонометриялық функцияларға кері функциялар. Керi тригонометриялық функцияларға алты функция жатады (әр тригонометриялық функцияларға сәйкес).

• арксинус (белгіленуі: $\arcsin x$)
• арккосинус (белгіленуі: $\arccos x$)
• арктангенс (белгіленуі: $\mathrm{arctg}x$; шетелдiк әдебиеттерде $\arctan x$)
• арккотангенс (белгіленуі: $\mathrm{arcctg}x$; шетелдiк әдебиеттерде $\mathrm{arccot}x$ немес $\mathrm{arccotan}x$)
• арксеканс (белгіленуі: $\mathrm{arcsec}x$)
• арккосеканс (белгіленуі: $\mathrm{arccosec}x$; шетелдiк әдебиеттерде $\mathrm{arccsc}x$)

Негiзгi байланыстар

$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}x=\frac{\pi }{2}$

Арксинус

$y=\arcsin x$ фунциясының графигі.

$y=\arcsin x$ өспелі функция болып табылады.

• $\sin (\arcsin x)=x$ , егер $-1⩽x⩽1,$
• $\arcsin (\sin y)=y$ , егер $-\frac{\pi }{2}⩽y⩽\frac{\pi }{2},$
• $D(\arcsin x)=[-1;1]$ (анықталу облысы),
• $E(\arcsin x)=[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ (мәндер облысы).

Қасиеттері

• $\arcsin (-x)=-\arcsin x$ (тақ функция).
• $\arcsin x>0$ , егер $0<x⩽1.$
• $\arcsin x=0$ , егер $x=0.$
• $\arcsin x<0$ , егер $-1⩽x<0.$
• $\arcsin x=\{\begin{array}{c}\arccos \sqrt{1-x^2},0⩽x⩽1\\ -\arccos \sqrt{1-x^2},-1⩽x⩽0\end{array}$
• $\arcsin x=\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\arcsin x=\{\begin{array}{c}\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},0<x⩽1\\ -\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi ,-1⩽x<0\end{array}$

Арккосинус

$y=\arccos x$ фунциясының графигі.

Арккосинус - косинуске Kepi функция. Арккосинус Arccos z деп белгіленеді. Арккосинус - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арккосинус логарифм және квадрат түбір арқылы мына

Arccos z = $\frac{1}{i}\mathrm{Ln}(z+\sqrt{z^2-1})$

Арктангенс

$y=\mathrm{arctg}x$ фунциясының графигі.

Арктангенс - тангенске Kepi функция. Арктангенс Arctg z деп белгіленеді. Арктангенс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арктангенс - логарифм арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:

Arctg z = $\frac{1}{2i}\mathrm{Ln}\frac{1+iz}{1-iz}$

Арккотангенс

Сурет:Арккотангенс.png

$y=\mathrm{arcctg}x$ фунциясының графигі.

Арккотангенс - котангенске кері функция. Арккотангенс Arcctg z - деп белгіленеді. Арккотангенс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арккотангенс - логарифм арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:

Arcctg z = $\frac{1}{2i}\mathrm{Ln}\frac{z+i}{z-i}$

Арксеканс

$\mathrm{arcsec}(x)=\arccos \left(\frac{1}{x}\right)$ Арксеканс - секанске кері функция. Арксеканс Arcsec z деп белгіленеді. Арксеканс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арксеканс логарифм және квадрат түбір арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:

Arcsec z = $\frac{1}{i}\mathrm{Ln}(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2-1})$

Арккосеканс

$\mathrm{arccosec}(x)=\arcsin \left(\frac{1}{x}\right)$ Арккосеканс - косеканске кері функция. Арккосеканс Arccosec z деп белгіленеді. Арккосеканс көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. z-тің нақты мәндерінде Арккосеканс [-π/2;π/2] аралығында жататын бірмәнді тармағы арккосеканс бас мәні деп аталады. Логарифмдік функция арқылы Арккосеканс мына формула арқылы өрнектеледі:

Arccosec z = $\frac{1}{i}\mathrm{Ln}(\frac{1}{z}+\sqrt{1-\frac{1}{z^2}})$

Кері тригонометриялық функциялар туындылары

$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$
$(\arccos x{)}^{\prime }=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.$
$(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}.$
$(\mathrm{arcctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}.$

Кері тригонометриялық функциялар интегралдары

Нақты және комплексті x үшін:

$\begin{array}{cc}\int \arcsin xdx& =x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C,\\ \int \arccos xdx& =x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C,\\ \int \mathrm{arctg}xdx& =x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C,\\ \int \mathrm{arcctg}xdx& =x\mathrm{arcctg}x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C,\\ \int \mathrm{arcsec}xdx& =x\mathrm{arcsec}x-\ln \left(x(1+\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}})\right)+C,\\ \int \mathrm{arccosec}xdx& =x\mathrm{arccosec}x+\ln \left(x(1+\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}})\right)+C.\end{array}$

Нақты x ≥ 1 үшін:

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{arcsec}xdx& =x\mathrm{arcsec}x-\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C,\\ \int \mathrm{arccosec}xdx& =x\mathrm{arccosec}x+\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C.\end{array}$