Квадраттық функция

$f(x)=x^2-x-2$

Квадраттық функция деп мына түрде беруге болатын функцияны айтады $f(x)=a{x}^2+bx+c$, мұнда$a\ne 0$.

Графигі

$f(x)=a{x}^2{|}_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}$

$f(x)=x^2+bx{|}_{b=\{1,2,3,4\}}$

$f(x)=x^2-bx{|}_{b=\{1,2,3,4\}}$

Квадраттық функцияның графигі парабола деп аталады.

Жалпы түрде квадраттық функцияның теңдеуі мына түрде жазылады: $y=a{x}^2+bx+c$. Парабола төбесінің координаттары: $(x_0;y_0),x_0=-\frac{b}{2a},y_0=-\frac{D}{4a}$.

$x=-\frac{b}{2a}$ түзуі квадраттық функция графигінің симметрия осі деп аталады.

Егер a<0 болса парабола төмен тармақталған болады, a>0 болғанда — жоғары тармақталған.

Квадраттық функцияның қасиеттері

Квадраттық функцияның қасиеттері дискриминанттың мәніне байланысты болады. Дискриминант мына формула бойынша есептеледі $D=b^2-4ac$

$a>0$ болғандағы квадраттық функцияның қасиеттері (Осы түспен $a<0$ болғандағы қасиеттері көрсетілген.):

Қасиеті	Дискриминант
	$D>0$	$D=0$	$D$
Анықталу облысы	$D(f)=R$
a>0 болғандағы мәндер жиыны	$E(f)=[-\frac{D}{4a};+1)$
a<0 болғандағы мәндер жиыны	$E(f)=(-1;-\frac{D}{4a}]$
Функцияның нөлдері	$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$	$x=-\frac{b}{2a}$	$\mathrm{\varnothing }$
Оң ( теріс) мәндер	$(-1;x_1)\cup (x_2;+1)$	$-\frac{b}{2a}$ нүктелерден басқа барлық жерде	Барлық жерде
Теріс ( оң ) мәндер	$(x_1;x_2)$	Теріс ( оң ) мәндері жоқ
Кему (өсу) аралығы, егер а>0	$(-1;-\frac{b}{2a}]$
Өсу ( кему) аралығы, егер a>0	$[-\frac{b}{2a};+1)$
Ең кіші ( ең үлкен ) мәні	$f(x{)}_{min}=-\frac{D}{4a}$

Практикада кездесетін жерлері

• Еркін құлап жатқан дене биіктігінің уақытқа тәуелділігі.
• Фигура ауданының оның сызықтық өлшемдеріне тәуелділігі (мысалы, дөңгелек ауданының радиусқа тәуелділігі).

Жалпылау

Көп айнымалы жағдайына жалпылау екінші ретті беттер болып табылады. Ондай теңдеудің жалпы түрін мына түрде жазуға болады:
$f(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{x}+c$
Бұл жерде: $A$ - квадрат түрдегі матрица, $\overrightarrow{b}$ - тұрақты вектор, $c$ - константа. Бұл жағдайда да функцияның қасиеттері (бірінші ретті жағдайына ұқсас) теңдеудің негізгі коэфиценті $A$ матрицасымен анықталады.

Тағы қараңыз

• Квадрат теңдеулер
• Афиндік-квадраттық функция
• Математикалық функциялар тізімі

Сілтемелер

• Квадраттық функцияның қасиеттері Үлгі:Webarchive
• Квадраттық функцияның қасиеттері Үлгі:Webarchive