Инцентр

Инцентр - үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі. Сонымен қатар бұл нүкте үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі болып табылады (аты да содан шыққан - ағылшынша inscribed center).
Инцентр әдебиетте латин $I$ әрпімен белгіленеді.

Қасиеттері

Инцентр $A$ бұрышының биссектрисасын $\frac{b + c}{a}$ өатынаста бөледі, мұндағы $a$ , $b$ , $c$ — ұшбұрыш қабырғалары.
Клайнэр теоремасы. Егер $B$ бұрышының биссектрисасының созындысы $△ A B C$ -ға сырттай сызылған шеңберді $D$ нүктесінде қиса келесі орындалады: $D A = D C = D I = D J$ , мұндағы $J$ — $A C$ қабырғасын жанап іштей сызылған шеңбер центрі.

Тебо теоремасы 3. ABC — кез келген үшбұрыш болсын, D — BC қабырғасындағы нүкте, $I_{1}$ — AD, BD кесінділері мен $Δ A B C$ -ға сырттай сызылған шеңберді жанайтын шеңбер центрі, $I_{2}$ — CD, AD кесінділері мен $Δ A B C$ -ға сырттай сызылған шеңберді жанайтын шеңбер центрі болсын. Онда $I_{1} I_{2}$ кесіндісі $Δ A B C$ -ға іштей сызылған шеңбер центрі I нүктесінен өтеді, сонымен қатар $I_{1} I : I I_{2} = {tg}^{2} \frac{ϕ}{2}$ , мұндағы $ϕ = ∠ B D A$ .

Шиффлер теоремасы. Инцентрі I болатын үшбұрыш ABC-да тағы BCI, CAI және ABI үшбұрыштарын қарастырсақ, олардың (алғашқы) Эйлер түзулері, және ABC үшбұрышының да (алғашқы) Эйлер түзуі (барлық төрт түзулер де) бір нүкте - Sp Шиффлер нүктесінде қиылысады (оң жақтағы суретті қара).
Эйлер теоремасы. Инцентр $I$ және $O$ сырттай сызылған шеңбер центрі арақашықтығы былай өрнектеледі: $O I^{2} = R^{2} - 2 R r$ , мұндағы $R$ және $r$ — сәйкесінше сырттай және іштей сызылған шеңберлер радиустары.

\