Интегралдық теңдеулер

Интералдық теңдеулер - ішінде белгісіз функцияны интегралдау кездесетін теңдеулер.

Интегралдық теңдеулерді санаттау

Сызықтық Интегралдық теңдеулер

Бұл белгісіз функция сызықтық түрде берілетін Интегралдық теңдеулер:

$\phi (x)=\lambda \int K(x,s)\phi (s)ds+f(x),$

мұндағы $\phi (x)$ — искомая функция, $f(x)$, $K(x,s)$ — белгілі функциялар, $\lambda$ — параметр. $K(x,s)$ функциясы Интегралдық теңдеудің ядросы болып табылады. Ядросы мен бос мүшесінің түрлеріне қарай сызықтық Интегралдық теңдеулерді тағы жіктеуге болады.

Фредгольм теңдеулері

2-ші түрдегі Фредгольм Интегралдық теңдеулері

Фредгольмның 2-ші түрдегі Интегралдық теңдеулері былай анықталады:

$\phi (x)=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,s)\phi (s)ds+f(x).$

Интегралдау шектері шекті немесе шексіз болуа мүмкін. Анымалылар мына теңсіздікді қанағаттандырады: $a⩽x,s⩽b$, ал ядросы мен бос мүшелері үздіксіз болу керек: $K(x,s)\in C(a⩽x,s⩽b),f(x)\in C([a,b])$, немесе келесі шарт орындалу керек:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}|K(x,s){|}^{2}dxds<+\mathrm{\infty },\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x){|}^{2}dx<+\mathrm{\infty }.$

Соңғы шартты қанағаттандыратын ядролар фредгольмдік деп те аталады. Егер $[a,b]$ интервалында $f(x)\equiv 0$ болса, онда теңдеу біртекті, әйтпесе біртексіз интегралдық теңдеу деп аталады.

1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері

1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері де 2-ші түрдегі секілдіге ұқсас, айырмашылығы - бұнда интерграл сыртында белгісіз функциясы бар бөлігі жоқ:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,s)\phi (s)ds=f(x),$

ал ядро мен бос мүшесі Фредгольмның 2-ші түрдегі теңдеулері шартын қанағаттандырады.

Вольтерра теңдеулері

2-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері

Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінен интегралдау шектерінің бірі айнымалы болғанында:

$\phi (x)=\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,s)\phi (s)ds+f(x),a⩽x⩽b.$

1-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері

Фредгольм теңдеулеріндегідей 1-ші түрдегі Вольтерра теңдеулерінде интеграл сыртындағы беймәлім функция жоқ:

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,s)\phi (s)ds=f(x).$

Егер келесідегідей ядросын анықтаса Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінің жекеше түрі деп қарастырса да болады:

$𝒦(x,s)=\{\begin{array}{cc}K(x,s),& a⩽s⩽x,\\ 0,& x<s⩽b.\end{array}$

Дегенмен Вольтерра теңдеулерінің кейбір қасиеттері Фредгольм теңдеулеріне жарамайды.

Сызықтық емес теңдеулер

Бұндай теңдеулердің шексіз түрелін келтіруге болады. Төменде тек маңызды әрі қолданбалы түрлері анықталған.

Урысон теңдеулері

$\phi (x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,s,\phi (s))ds,K(x,s,\phi )\in C(a⩽x,s⩽b;-M⩽\phi ⩽M).$

Тұрақты $M$ — оң сан, алдын ала анықтау кей жағдайда мүмкін емес.

Гаммерштейн теңдеулері

Гаммерштейн теңдеуі Урысон теңдеулерінің жекеше маңызды түрі:

$\phi (x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,s)F(s,\phi (s))ds,$

мұндағы $K(x,s)$ — фредгольмдік ядро.

Ляпунов — Лихтенштейн теңдеулері

Ляпунов — Лихтенштейн аттарымен айтарлықтай сызықтық емес операторлары бар теңдеулерді айтады, мысалы:

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}{K}_{[1]}(x,s)\phi (s)ds+\mu \underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{K}_{[1,1]}(x,s,z)\phi (x)\phi (z)dsdz+\dots$

Вольтерра сызықтық емес теңдеулері

$\phi (x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}F(x,s,\phi (s))ds,$

мұндағы функция $F(x,s,\phi )$ барлық айнымалылары бойыншща үзіліссіз.