Жалпыланған функция

Жалпыланған функция немесе үлестірілім — қандай да болмасын бір кесіндінің сыртында нөлге айналатын, шексіз дифференциалданатын функциялар кеңістігінде анықталған үзіліссіз сызықтық функционал. Бұндай функцияларға сұраныс физика мен математикалық есептерде көп болған. Әсіресе олардың өлшемдері жоқ, бірақ физикалық шамаларды нүкте төңірегінде үлестірілуін сипаттауда рөлі өте зор.

Анықтамасы

Жалпыланған функция $f$ — «жақсы функциялар» (негізгі функциялар кеңістігі) векторлық кеңісітігіндегі $f:\phi \mapsto (f,\phi )$ сызықтық үздіксіз функционал. Негізгі кеңістіктің маңызды үлгісі — $D({ℝ}^n)$ функциялар тізбегі шегі болады, ал егер тасушылары тұрақты шарға тиесілі болса онда олар онда $C^{\mathrm{\infty }}$- шегі болатындай өзінде табиғи топологиясы бар ${ℝ}^n$-дағы финиттік функциялар $C^{\mathrm{\infty }}$-жиынтығы.

$D({ℝ}^n)$-ге түйіндес кеңістік $D^{\prime }({ℝ}^n)$ жалпыланған функциялар кеңістігі болып табылады.

$D^{\prime }({ℝ}^n)$-дегі жалпыланған функциялар тізбегі жинақтылығы $D^{\prime }({ℝ}^n)$-дегі функционалдардың әлсіз жинақтылығымен анықталады, яғни $f_n\to f$, $D^{\prime }({ℝ}^n)$ кеңістігінде, ол деген сөз $(f_n,\phi )\to (f,\phi )$ кез келген$\phi \in D({ℝ}^n)$.