Герон формуласы

a, b, және c қабырғалары бар үшбұрыш.

Герон формуласы — Александриялық Герон атындағы үшбұрыштың ауданын (S) оның қабырғаларының (a, b, және c) ұзындықтары арқылы өрнектейтін формула:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

мұндағы p — үшбұрыштің жарты периметрі:

$p=\frac{a+b+c}{2}.$

Герон формуласын төмендегідей түрлерде де жазуға болады:

$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$

$S=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}$

$S=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}$

Формуланы Александриялық Герон ашқан болатын, дәлелін ғалымның Метрика атты еңбегінен таба аласыз.Алайда үшбұрыш ауданын үш қабырғасы бойынша есептеу формуласын Архимед 2 ғасыр бұрын ашқан деген тұжырым бар.

Мысал

Айталық, ΔABC — берілген үшбұрыш, оның қабырғалары a=7, b=4 және c=5 болсын.

Жарты периметр — $p=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}(7+4+5)=8$.

Яғни, аудан —

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8\cdot (8-7)\cdot (8-4)\cdot (8-5)}$

$=\sqrt{8\cdot 1\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\approx 9.8$

Дәлел

Алгебраны қолданған қазіргі дәлел, Геронның Метрика кітабындағы дәлелінен әлдақайда өзгеше. Айталық, a, b, c үшбұрыштың қабырғалары және A, B, C бұрыштары бұл қабырғаларға қарсы жатқан бұрыштар болсын.

Косинустар теоремасы бойынша:

$\cos \hat{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

C бұрышының синусын тапсақ:

$\sin \hat{C}=\sqrt{1-{\cos }^2\hat{C}}=\frac{\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}}{2ab}.$

Үшбұрыштың ауданың формуласын қолдана отырып:

$\begin{array}{cc}S& =\frac{1}{2}ab\sin \hat{C}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+(a^2+b^2-c^2))}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(c^2-(a-b{)}^2)((a+b{)}^2-c^2)}\\ & =\sqrt{\frac{(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}\\ & =\sqrt{\frac{(b+c-a)}{2}\frac{(a+c-b)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}\frac{(a+b+c)}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(b+c-a)}{2}\frac{(a+c-b)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}}\\ & =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\end{array}$