Абель теоремасы

Абель теоремасы, алгебралық теңдеулер туралы — кез келген $n$-дәрежелі тендеудің беске тең немесе одан үлкен $n$-дәрежелі тендеудің түбірлерін радикалдар арқылы коэффициенттерімен өрнектейтін формуланы анықтау мүмкін емес. Абель — Таубер теоремасы Абель теоремасына кері болып табылады.

Бұл теореманы 1824 жылы норвег математигі Нильс Абель (1802 -1829) дәлелдеген.

Тұжырымдама

$f(x)=\sum _{n⩾0}{a}_n{x}^n$ — жинақтылық радиусы $R$ болатындай комплексті коэффициентті дәрежелік қатар болсын.

Егер $\sum _{n⩾0}{a}_n{R}^n$ жинақталатын қатар болса, онда:

$\underset{x\to R^{-}}{\lim }f(x)=\sum _{n⩾0}{a}_n{R}^n$.

Дәлелдеу

Айнымалыны $u=x/R$ ауыстыру арқылы $R=1$ деп есептесе болады. Сонымен қатар ($a_0$ таңдау арқылы) $\sum a_n=0$ деуге болады. $\sum a_n$ қатарының жекеше қосындыларын $S_n$ деп белгілейік. Берілген шарт бойынша $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=0$, ал $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=0$ екендігін дәлелдеу керек.

$x\in [0,1]$ қарастырайық. Онда ($S_{-1}=0$ деп алсақ):

$\sum _{n=0}^N(S_n-S_{n-1})x^n=\sum _{n=0}^N{S}_n(x^n-x^{n+1})+S_N{x}^{N+1}.$

Осыдан шығатыны: $f(x)=(1-x){\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_n{x}^n$.

Кез келген $\epsilon >0$ үшін барлық $n>N_0$ үшін $|S_n|\le \epsilon$ орындалатындай натурал сан $N_0$ табылады, сондықтан:

$|f(x)|⩽(1-x)\left|\sum _{n=0}^{N_0}{S}_n{x}^n\right|+(1-x)\epsilon \sum _{n=N_0+1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=(1-x)\left|\sum _{n=0}^{N_0}{S}_n{x}^n\right|+\epsilon x^{N_0+1}.$

Оң жағы $x$ 1-ге ұмтылғанда $\epsilon$ ұмтылады, соның ішінде $x$ 1-ге ұмтылғанда ол $2\epsilon$-нан кіші.