Эйлердің төртбұрыштар туралы теоремасы

Эйлердің төртбұрыштар туралы теоремасы — планиметриядағы теорема, Леонард Эйлердің (1707—1783) құрметіне аталған. Дөңес төртбұрыштың қабырғалары мен диагональдары арасындағы қатынасты сипаттайды. Пифагор теоремасының жалпыландырылған нұсқасы болып есептелінеді, сондықтан оны кейде Эйлер — Пифагор теоремасы деп те атайды.

$a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2$

Теорема және жеке жағдайлар

Төртбұрыштың $a,b,c,d$ қабырғалары, $e$ және $f$ диагональдары бар делік, диагональдардың орталарын $g$ кесіндісі қосады. Бұл жағдайда келесі теңдеу орын алады:

$$a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2$$

Төртбұрыш параллелограмм болса, $g$ кесіндісінің ұзындығы 0-ге тең, ал қарама-қарсы қабырғалары бір-біріне тең, сонда:

$$2a^2+2b^2=e^2+f^2$$

Тік төртбұрыш үшін теңдеу одан әрі қысқарады, себебі диагональдары бір-біріне тең:

$$2a^2+2b^2=2e^2$$

Осы теңдеудегі екі жағын да екіге бөлсек, Пифагор теоремасына пара-пар нәтиже шығады:

$$a^2+b^2=e^2$$

Яғни Пифагор теоремасы Эйлердің төртбұрыштар туралы теоремасының бір мысалы ғана болып тұр.