Сан

Сан — мөлшерді сипаттайтын, санауда пайдаланылатын абстракт нәрсе.

Сан — математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Қарапайым түрде алғашқы қоғамдарда-ақ пайда болған, кейін бірте-бірте қолданыс аясы кеңейіп әрі жалпыланды. Кейбір заттарды санауға байланысты бүтін оң (натурал) сандар ұғымы, кейіннен сандардың натурал қатарының $(1,2,3,4,\dots )$ шексіздігі туралы идея пайда болды. Сан ұғымының алғашқы кеңеюі — натурал сандарға бөлшек сандардың қосылуы болды. Ол ұзындықты өлшеу, ауданды табу, сондай-ақ, атаулы шамалардың үлесін бөліп шығару қажеттілігіне байланысты қолданысқа енгізілді. Теріс сандар арифметикалық есептерді шешудің жалпы тәсілдерін беретін алгебраның ғылым ретінде дамуына байланысты шықты. Бүтін, бөлшек (оң және теріс) және нөл сандары рационал сан деп аталды. Айнымалы шамалардың шексіз өзгеруін зерттеу үшін сан ұғымы кеңейтіліп, нақты сандар жиынтығы пайда болды. Шамалардың қатынасын (мыс., квадрат диагоналының оның қабырғасына қатынасы) дәл өрнектеу қажеттігі иррационал сандар ұғымын енгізуге себепші болды. 16 ғасырда квадрат және куб теңдеулерді шешуге байланысты жорамал сандар ұғымы енгізілді. Сан ұғымы дамуының соңғы кезеңі комплекс сандардың енгізілуі болды. Бұл идея 16 ғасырда үшінші және төртінші дәрежелі алгебралық теңдеулердің шешімін табуға байланысты пайда болған.

Негізгі сандар жиыны

Сандар жиынының мынандай түрлері бар:

• Натурал сандар — натурал сандар жиынын $\mathbb{N}$ деп белгілейді.
• Бүтін сандар — бүтін сандар жиынын $\mathbb{Z}$ деп белгілейді.
• Рационал сандар — рационал сандар жиынын $\mathbb{Q}$ деп белгілейді.
• Иррационал сандар — иррационал сандар жиынын әдетте $𝕀$ деп белгілейді.
• Нақты сандар — нақты сандар жиынын $ℝ$ деп белгілейді. Нақты сандардың өздері алгебралық және трансценденттік болып бөлінеді.
• Комплекс сандар — комплекс сандар жиынын $ℂ$ деп белгілейді.

Сандар жиынының жалпылауы

Кватерниондар - гиперкомплекс сандардың бір түрі. Кватерниондар жиынын $ℍ$ арқылы белгілейді. Олардың комплекс сандардан айырмашылығы көбейтуге қатысты коммутативті емес. Өз кезегінде кватерниондар жиынының кеңеюі болып табылатын $𝕆$ октонион (октав) сандар жиыны ассоциативтік (терімділік) қасиетін жоғалтады. Октонион сандарға қарағанда $𝕊$ седенион сандар жиыны альтернативті (балама) қасиеттерге ие емес, бірақ қуатты ассоциативті қасиетті сақтайды. Осы жалпыланған сандар жиыны үшін келесі иерархия дұрыс болады: $ℂ\subset ℍ\subset 𝕆\subset 𝕊$.

Сандар жиынының иерархиясы

Иерархия келесідей болады: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ\subset ℍ\subset 𝕆\subset 𝕊$

Кемел сан

Кемел сан - өзінің бүтін (яғни өзінен кіші) бөлгіштерінің қосындысына тең бүтін оң сан. Мысалы, $6$ саны өзінің бөлгіштерінің $1+2+3$ қосындысына тең, яғни $6=1+2+3.$ Сол сияқты,$28=1+2+4+7+14.$ Біздің заманымыздан бұрынғы III ғасырда Евклид жұп кемел сандарды $2^{p-1}(2p-1)$ формуласымен анықтауға болатынын білген, тек $p$ мен $2^p-1$ сандарының жай сандар болуы шарт. Осы әдіспен 1987 жылға дейін барлығы $27$ жұп кемел сан анықталған. $496$ жөне $8128$ сандары - кемел сандар. Тақ кемел санның болу немесе болмау мәселесі шешімін тапқан жоқ. Ғалымдардың болжауынша $1$-ден $10^{50}$ дәрежесіне тең натурал сандар аралығында мұндай кемел сандардың кездеспеуі ықтимал.

Қарама-қарсы сандар

Қарама-қарсы сандар — қосындысы нөлге тең болатын екі сан, $a+(-a)=0.$Мысалы, $7$ және $-7$, $\sqrt{3}$және — $\sqrt{-3}$ ,$2-i$және$-2+i$карама-қарсы сандар. $0$-дің; (нөлдің) қарама-қарсы саны $0$ (нөл). Қарама-қарсы сандар комплекс сандар жазықтығында нөлге қатысты симметриялы нүктелермен белгіленеді. Дербес жағдайда, нақты карама-қарсы сандар сан осінде, санақтың бас нүктесіне, яғни нөлге қатысты симметриялы түрде бейнеленеді.

Құрама сан

Құрама сан – жай сан болмайтын, яғни 1-ден және өзінен де басқа бөлгіштері болатын натурал сан. Мысалы, 4, 18, 105, т. б. құрама сандар. Әрбір құрама санды бір ғана тәсілмен жай көбейткіштердің көбейтіндісі түрінде өрнектеуге болады.

Оң сан

Оң сан – нөлден үлкен (a>0) нақты сан(a). Оң сандар - сан түзуінің бойында санақ бас нүктесінің оң жағында (яғни нөлдің оң жағында) жататын нүктелермен бейнелененеді.