Виет формулалары бетінің кодын көру

'''[[Франсуа Виет|Виет]] формулалары''' — [[Көпмүшелік|көпмүше]]нің коэффиценттерін оның түберлері арқылы өрнектеу формулалары.

Бұл формулаларды түбірлері арқылы көпмүшені табуда, көпмүше түбірлерінің дұрыстығын тексеруді колданған ыңғайлы.
== Формуласы ==
: <math>x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n,\,\!</math> 

: <math>\begin{cases}
 ~c_1 + c_2 + \ldots + c_n = -a_1, \\
 ~c_1 c_2 + c_1 c_3 + \ldots + c_1 c_n + c_2 c_3 + \ldots + c_{n-1} c_n = a_2, \\
 ~c_1 c_2 c_3 + c_1 c_2 c_4 + \ldots + c_{n-2} c_{n-1} c_{n} = -a_3, \\
 ~c_1 c_2 \ldots c_n = (-1)^n a_n \\
\end{cases}</math>
== Дәлелдеуі ==
Айталық,
: <math>x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n,\,\!</math> 
келтірілген көпмүшесінің нақты ''n'' түбірі бар болсын: <math>c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}</math>. Мұнда көпмүшенің ''k'' еселік түбірі ''k'' рет қайталанады. Онда
: <math> (x - c_1)(x - c_2) \cdots (x - c_n)</math>  
теңдігі орындалады. Осыдан жақшаларды ашып, ''х''-тің бірдей дәрежелерінің алдындағы коэфиценттерді салыстырсақ, онда
: <math>\begin{matrix}
a_1 &=& -(c_1 + c_2 + \ldots + c_n) \\ 
a_2 &=& c_1 c_2 + c_1 c_3 + \ldots + c_1 c_n + c_2 c_3 + \ldots + c_{n-1} c_n \\ 
a_3 &=& -(c_1 c_2 c_3 + c_1 c_2 c_4 + \ldots + c_{n-2} c_{n-1} c_{n}) \\ 
 & &\ldots \\ 
a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (c_1 c_2 \ldots c_{n-1} + c_1 c_2 \ldots c_{n-2} c_n + \ldots + c_2 c_3...c_n) \\
a_n &=& (-1)^n c_1 c_2 \ldots c_n \end{matrix}.</math>
өрнегін аламыз.

== Мысалдар ==

=== Квадрат теңдеу ===
Егер <math>~x_1</math> және <math>~x_2</math> — <math>\ ax^2+bx+c=0</math> [[квадрат теңдеу]]інің түбірлері болса, онда формула келесі түрде болады:
: <math>\begin{cases}
  ~x_1+x_2=~-\dfrac{b}{a} \\
  ~x_1 x_2= ~\dfrac{c}{a}
\end{cases}</math>

Дербес жағдайда, егер <math>a=1</math> болса (келтірілген теңдеу <math>x^2+px+q=0</math>), онда формула келесі түрде болады:
: <math>\begin{cases}
  ~x_1+x_2=-p \\
  ~x_1 x_2=q\end{cases}
 </math>.

=== Кубтық теңдеу ===
Егер <math>x_1, x_2, x_3</math> — <math> p(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 </math> [[кубтық теңдеу]]інің түберлері болса, онда формула келесі түрде болады:
: <math>\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}\\x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \dfrac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3 = -\dfrac{d}{a}\end{cases}</math>.

== Тағы қараңыз ==
* [[Безу теоремасы]]

[[Санат:Көпмүшеліктер]]
[[Санат:Математикалық талдау]]