Менелай теоремасы

Менелай теоремасы немесе трансверсалдар туралы теорема немесе толық төртқабырғалық туралы теорема — бұл аффиндік геометрияның классикалық теоремасы.

Тұжырымдамасы

Егер $A^{\prime },B^{\prime }$ және $C^{\prime }$ нүктелері сәйкесінше $\mathrm{△}ABC$ үшбұрышының $BC,CA$ және $AB$ қабырғаларында немесе олардың созындыларында жатса , онда олар коллинеар болады сонда тек сонда, егер

$\frac{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}\cdot \frac{C{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}\cdot \frac{B{C}^{\prime }}{C^{\prime }A}=-1.$

мұндағы $\frac{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}$, $\frac{C{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}$ және $\frac{B{C}^{\prime }}{C^{\prime }A}$ бағытталған кесінділер қатынасын белгілейді,.

Бұл теоремадан мынадай қатынас шығады:

$\frac{|A{B}^{\prime }|}{|B^{\prime }C|}\cdot \frac{|C{A}^{\prime }|}{|A^{\prime }B|}\cdot \frac{|B{C}^{\prime }|}{|C^{\prime }A|}=1.$

Вариациялары мен жалпыламалары

• Тригонометриялық баламасы:

$\frac{\sin \mathrm{\angle }BA{A}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{A}^{\prime }AC}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }CB{B}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{B}^{\prime }BA}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }AC{C}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{C}^{\prime }CB}=-1$, мұндағы барлық бұрыштар — бағдарланған.

• Сфералық геометрияда Менелай теоремасы былай түрленеді

$\frac{\sin |A{B}^{\prime }|}{\sin |B^{\prime }C|}\cdot \frac{\sin |C{A}^{\prime }|}{\sin |A^{\prime }B|}\cdot \frac{\sin |B{C}^{\prime }|}{\sin |C^{\prime }A|}=1.$

• Лобачевский геометриясында Менелай теоремасы түрі

$\frac{\mathrm{sh}|A{B}^{\prime }|}{\mathrm{sh}|B^{\prime }C|}\cdot \frac{\mathrm{sh}|C{A}^{\prime }|}{\mathrm{sh}|A^{\prime }B|}\cdot \frac{\mathrm{sh}|B{C}^{\prime }|}{\mathrm{sh}|C^{\prime }A|}=1.$

Тарихы

Бұл теорема Алесандриялық Менелайдың «Сферикасының» үшінші бөлімінде (шамамен БД 100 ж.) дәлелдейді. Ол басында теореманың жазық нұсқасын дәлелдейді, содан орталық проекциялаумен сфераға көшіреді. Жазықтықтағы нұсқасы оның алдында сақталмаған Евклидтің «Поризмаларында» дәлелденуі мүмкін.

Қолданысы

• Салмон теоремасы

Тағы қараңыз

• Гаусс түзуі
• Чева теоремасы

Сыртқы сілтемелер

• Үлгі:Кітап
• Үлгі:Мақала
• Үлгі:Мақала