Лаплас операторы

Лаплас операторы, лапласиан (дельта операциясы)— х₁, х₂, ..., х_n айнымалыларынан тәуелді $F$(х₁, х₂, ..., х_n) функциясына $(\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\dots +\frac{{\partial }^2}{\partial x_n^2})F$ функциясын сәйкес келтіретін $\mathrm{\Delta }$ сызықты дифференциал операторы. Дербес жағдайда бір айнымалылы $F$(х) функциялары үшін Лаплас операторs екінші туынды операторымен сәйкес келеді:$\mathrm{\Delta }F(x)$=$F^{″}(x)$.

$\mathrm{\Delta }F(x)$=0 теңдеуін әдетте Лаплас теңдеуі деп атайды. $\mathrm{\Delta }$ белгілеуін Р.Мерфи енгізген (1833).

Лаплас операторы үшін әр түрлі қисық сызықты координаттар жүйесіндегі өрнектері

Үш өлшемді $q_1,q_2,q_3$ кеңістіктегі кез келген ортогоналды қисықсызықты координаттар үшін:

$\mathrm{\Delta }f(q_1,q_2,q_3)=\mathrm{div}\mathrm{grad}f(q_1,q_2,q_3)=$

$=\frac{1}{H_1{H}_2{H}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(\frac{H_2{H}_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1}\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(\frac{H_1{H}_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2}\right)+\frac{\partial }{\partial q_3}\left(\frac{H_1{H}_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3}\right)],$

мұндағы $H_i$ — Ламе коэффициенттері.

Цилиндрлік координаттар

Цилиндрлік координаттарда түзуден тыс $r=0$:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$

Сфералық координаттар

Сфералық координаттар бас нүктеден тыс (үш өлшемді кеңістікте):

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$

немесе

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}\left(rf\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}.$

Егер $f=f(r)$ болса n-өлшемді кеңістікте:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{d^{2}f}{d{r}^2}+\frac{n-1}{r}\frac{df}{dr}.$

Параболалық координаттар

Параболалық координаттарда (үш өлшемді кеңістікте) бас нүктеден тыс:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}[\frac{1}{\sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma }\right)+\frac{1}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau }\right)]+\frac{1}{{\sigma }^2{\tau }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$

Цилиндрлік параболалық координаттар

Параболалық цилиндр координаттарында бас нүктеден тыс:

$\mathrm{\Delta }F(u,v,z)=\frac{1}{c^2(u^2+v^2)}[\frac{{\partial }^{2}F}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial v^2}]+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial z^2}$

Дереккөздер

Үлгі:Stub