Эллипс

Эллипс – 2-ретті жазық қисық. Эллипс – фокус деп аталатын F1 F2 нүктелерден қашықтықтарының қосындысы бірдей болатын нүктелердің жиыны. Тік бұрышты координаттар жүйесінде Эллипс теңдеуі x²/a²+y²/b²=1 болады.

Конусты жазықтықпен қиғанда эллипс пайда болады.

Эллипс элементтері арасындағы қатынастар

Сурет:Ellipse parameters.gif

Эллипс мүшелері

• $𝒂$ — үлкен жарты осі;
• $𝒃$ — кіші жарты осі;
• $𝒄$ — фокальдық радиус (фокустары арасындағы жартылай қашықтық);
• $𝒑$ — фокальдық параметрі;
• ${𝒓}_p$ — перифокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең жақын қашықтық);
• ${𝒓}_a$ — апофокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең ұзын қашықтық);

$a^2=b^2+c^2$

$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}(0\le e<1).$.

$p=\frac{b^2}{a}$

	$𝒂$	$𝒃$	$𝒄$	$𝒑$	${𝒓}_{𝒑}$	${𝒓}_{𝒂}$
$𝒂$ – үлкен жарты осі	$𝒂$	$a=\frac{b}{\sqrt{1-e^2}}$	$a=\frac{c}{e}$	$a=\frac{p}{1-e^2}$	$a=\frac{r_p}{1-e}$	$a=\frac{r_a}{1+e}$
$𝒃$ – кіші жарты осі	$b=a\sqrt{1-e^2}$	$𝒃$	$b=\frac{c\sqrt{1-e^2}}{e}$	$b=\frac{p}{\sqrt{1-e^2}}$	$b=r_p\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}$	$b=r_a\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}$
$𝒄$ – фокальдық қашықтық	$c=ae$	$c=\frac{be}{\sqrt{1-e^2}}$	$𝒄$	$c=\frac{pe}{1-e^2}$	$c=\frac{r_{p}e}{1-e}$	$c=\frac{r_{a}e}{1+e}$
$𝒑$ – фокальдық параметр	$p=a(1-e^2)$	$p=b\sqrt{1-e^2}$	$p=c\frac{1-e^2}{e}$	$𝒑$	$p=r_p(1+e)$	$p=r_a(1-e)$
${𝒓}_p$ – перифокустық қашықтық	$r_p=a(1-e)$	$r_p=b\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}$	$r_p=c\frac{1-e}{e}$	$r_p=\frac{p}{1+e}$	${𝒓}_p$	$r_p=r_a\frac{1-e}{1+e}$
${𝒓}_a$ – апофокустық қашықтық	$r_a=a(1+e)$	$r_a=b\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}$	$r_a=c\frac{1+e}{e}$	$r_a=\frac{p}{1-e}$	$r_a=r_p\frac{1+e}{1-e}$	${𝒓}_a$

Координаттық түрде өрнектеу

Эллипс екінші реттік қисық ретінде

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка және жалпы мына теңдеуді қанағаттандырады

$a_{11}{x}^2+a_{22}{y}^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,$

инварианттың $D>0$ және $\mathrm{\Delta }I<0,$ болғанда, мұндағы:

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{12}& a_{22}& a_{23}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\end{array}\right|,$

$D=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}^2,$

$I=tr\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)=a_{11}+a_{22}.$

Екінші реттік қисық инварианттары мен эллипс жарты остері арасындағы қатынастар:

$\mathrm{\Delta }=-a^4{b}^4,$

$D=a^2{b}^2,$

$I=a^2+b^2.$