Эйлер теоремасы (планиметрия) бетінің кодын көру

'''Эйлер теоремасы''' арқылы [[планиметрия]]да сырттай және іштей сызылған шеңберлердің центрлерінің арақашықтығын табуға арналған.

Ол былай өрнектеледі:

: <math> d^2=R (R-2r) \,</math>

''R'' және ''r'' — сәйкесінше  сырттай  және іштей сызылған шеңберлердің радиусы.

Осы теоремадан '''Эйлер теңсіздігі''' шығады:

: <math>R \ge 2r. </math>

== Дәлелдеу ==
[[Сурет:Фы.png|нобай|Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер]]

''О'' нүктесі АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің орталығы, ал ''I'' нүктесі іштей сызылған шеңбердің орталығы. Егер ''АI'' сәулесі сырттай сызылған шеңберді ''L'' нүктесінде қиса, онда ''L'' нүктесі ''ВС'' доғасының орта нүктесі болады. ''LO'' түзуін сырттай сызылған шеңберді ''М'' нүктесінде қиғанға дейін созып жүргіземіз. ''I'' нүктесінен ''АВ'' қабырғасына перпендикуляр жүргіземіз. ''ID'' = ''r'' . ''ADI'' үшбұрышы ''MBL'' үшбұрышына ұқсас. Сонда    ''ID'' / ''BL'' = ''AI'' / ''ML'', яғни ''ID'' × ''ML'' = ''AI'' × ''BL''. Сондықтан 2''Rr'' = ''AI'' × ''BL''.  ''BI'' түзуін жүргізген кезде, мына теңдікті көруге болады:

: бұрыш ''BIL'' = бұрыш ''A'' / 2 + бұрыш ''ABC'' / 2,

: бұрыш''IBL'' = бұрыш ''ABC'' / 2 + угол ''CBL'' = бұрыш  ''ABC'' / 2 + бұрыш ''A'' / 2,

''OI'' түзуін  сырттай сызылған шеңберді ''P'', ''Q'' нүктесінде қиғанға дейін жүргіземіз. Сонда ''PI'' × ''QI'' = ''AI'' × ''IL'' = 2''Rr'', сол сияқты (''R''&nbsp;+&nbsp;''d'')(''R''&nbsp;&minus;&nbsp;''d'') = 2''Rr'', яғни ''d''<sup>2</sup> = ''R''(''R''&nbsp;&minus;&nbsp;2''r'').

== Дереккөздер ==
{{дереккөздер}}

{{Geometry-stub}}

[[Санат:Планиметрия]]
[[Санат:Үшбұрыш геометриясы]]
[[Санат:Леонард Эйлер]]