Логарифм бетінің кодын көру

[[Сурет:Log.png|thumb|250px|[[Логарифмдік функцияның графигі]]]]
'''''Логарифм''''' (logos — ''қатынас'' және arіthmos — ''сан''), N санының <math>a \ne 1</math> негізі бойынша логарифмі — N санын алу үшін а саны [[дәреже]]ленетін m дәреже [[көрсеткіш]]і (Логарифм негізі), бұл <math>\log_{a}N</math> түрінде белгіленеді. Сонымен, егер <math>a^m=N</math> болса, <math>m=\log_{a}N</math>. <math>a < 0</math> болғанда шексіз көп оң сандардың нақты логарифмі болмас еді, сондықтан да <math>a > 0</math> деп алынады. Логарифмдік функциялардың қасиеті бойынша, кез келген оң санның берілген негізі бойынша бір ғана нақты Логарифмі болады (теріс санның Логарифмі [[комплекс сан]]).

'''Логарифмнің негізгі қасиеттері:'''

* <math>\log_{a}(MN) = \log_{a}M + \log_{a}N;</math>
* <math>\log_{a}(M/N) = \log_{a}M - \log_{a}N;</math>
* <math>\log_{a}N^k = k * \log_{a}N;</math>


Егер a негізі белгілі болса, анықталған Логарифм жүйесі туралы айтуға болады. Әдетте <math>\lg{N}</math> түрінде белгіленетін ондық Логарифм (<math>a=10</math>) көбірек қолданылады. 10k (k — бүтін сан) санынан басқа рационал санның ондық Логарифмі [[ондық бөлшек]] түрінде жуықтап өрнектелетін [[трансцендент]] сан. Ондық Логарифмнің бүтін бөлігін сипаттамасы, ал бөлшек бөлігін [[мантисса]]сы деп атайды. <math>\lg{10kN}=k+\lg{N}</math> болғандықтан, 10k көбейткішімен ерекшеленетін сандардың ондық Логарифмінің мантиссасы бірдей, тек сипаттамалары әр түрлі болады. Логарифм кестелері осы қасиетке негізделіп жасалған, онда бүтін сандардың тек мантиссалары ғана берілген. Негізі <math>e=2,71828...</math> трансцендент сан болатын натурал Логарифмнің де маңызы зор; ол <math>\ln{N}</math> түрінде белгіленеді. Логарифмнің бір негізінен екінші негізіне ауысу үшін <math>\log_{b}N=\log_{a}N/\log_{a}b</math> формуласы қолданылады. <math>1/\log_{a}b</math> [[көбейткіш]]і a негізден b негізге ауысу (өту) модулі деп аталады. Натурал Логарифмнен ондық Логарифмге немесе керісінше өту 
<math>\ln{N}=\frac{\lg{N}}{\lg{e}}, </math> <math>\lg{N}=\frac{\ln{N}}{\ln{10}}; </math>
<math>\frac{1}{\lg{e}}=2,30258; </math>
<math>\frac{1}{\ln{10}}=0,43429...</math> 
формулалары арқылы жүзеге асырылады.

Логарифм атауын [[Дж. Непер]] ұсынған. Логарифм ең алдымен 16 ғасырда астрономияның тез дамуымен, [[астрономия]] бақылауларды анықтай түсуге және астрономия есептеулердің күрделілене түсуіне байланысты ашылды. Алғашқы Логарифм кестелерінің авторлары [[геометриялық прогрессия]] қасиеттері мен оның мүшелерінің дәреже көрсеткіштерінен құрастырылған [[арифметикалық прогрессия]] қасиеттерінің арасындағы тәуелділікті пайдаланған. Бұл тәуелділіктерді б.з.б. 3 ғасырда Архимед ішінара байқаған болатын, 1484 ж. Н.Шюке, 1544 ж. [[М.Штифель]] оларды жақсы білген. Алғашқы Логарифм кестелерін 1614 — 1619 ж. [[Дж.Непер]] мен 1620 ж. [[Й.Бюрги]] бір-біріне тәуелсіз және бір мезгілде құрастырған. Логарифмді теория тұрғыдан зерттеуде [[Бельгия]] математигі Григорий мен [[Леонард Эйлер|Л.Эйлер]] (1707 —1783) еңбектерінің маңызы зор.
[[Сурет:log.png|thumb|right|250px| alt=A| [[Логарифмдік функцияның графигі]]]]
==Логарифмдік функция==
Логарифмдік функция —  <math>x = e^y</math> [[көрсеткіштік функция]]сына кері <math>y= \ln{x}</math> функциясы. х [[аргумент]]інің белгілі бір мәніне сәйкес келетін у Логарифмдік функцияның мәні х санының ''натурал логарифмі'' деп аталады. Логарифмдік функцияның негізгі қасиеттері көрсеткіштік функция мен логарифмдердің қасиеттерінен шығады. Математика анализ курсында <math>\log_a x = y\,</math> (мұндағы <math>x>0</math>, <math>a>0</math>, <math>a \ne 1</math>) Логарифмдік функциясы қарастырылады. Бұл функция <math>y= \ln{x}</math> Логарифмдік функциямен  қатынасы арқылы байланысады. <math>\log_a x\,</math> Логарифмдік функциясы x>0 болғанда анықталған, бірсарынды ([[монотон]]ды) (<math>a>1</math> болғанда өседі, <math>0<a<1</math> болғанда кемиді), үзіліссіз және шексіз [[дифференциал]]данады. Логарифмдік функция  өзінің [[анықталу облысы]]ндағы әрбір нүктенің маңайында дәрежелік қатарға жіктелуі мүмкін.

== Қарапайым логарифмдік теңдеу және теңсіздіктің мәндес өзгерісінің орындалу схемасы ==

* <math>~log_{a}f(x)=b</math>

<math>~a>0, a\neq1</math>

::<math>~\Downarrow </math>

<math>~f(x) =a^{b}</math>

(<math>~a>0</math> болғандықтан, онда <math>~a^b > 0,</math> және  сондықтан ақырғы теңдеудің (ММЖ) (ОДЗ) автоматты түрде ескеріледі.)

* <math>~log_{a}f(x)= log_{a}g(x)</math>

<math>~a>0, a\neq1</math>

::<math>~\Downarrow </math>

<math>~\{_{f\left( x\right) >0.}^{f\left( x\right) =Q\left( x\right) } </math>немесе <math>~\{_{g\left( x\right) >0.}^{f\left( x\right) =g\left( x\right) }</math>

* <math>~log_{a}f(x) > log_{a}g(x)</math>, мұнда  <math>~a>0, a\neq1</math>

<math>~a>1</math> онда <math>~\{_{f\left( x\right) >0}^{f\left( x\right) >g\left( x\right) }</math>  Теңсіздің таңбасы өзгермейді және  (ММЖ) (ОДЗ) есептеледі

<math>~0<a<1</math> онда <math>~\{_{f\left( x\right) >0.}^{f\left( x\right) <g\left( x\right) }</math> Теңсіздің таңбасы өзгереді және  (ММЖ) (ОДЗ) есептеледі

[[Санат:Логарифмдер]]
[[Санат:Элементар функциялар]]