Аудан (геометрия) бетінің кодын көру

[[Сурет:Area_conversion_-_square_mm_in_a_square_cm.png|thumb|right|300px|]]
'''Aудан''' (геометриялық мағынада), '''S''' - геoметриялық пішіннің екі өлшемді  кеңістіктен алатын бөлігін сипаттайтын шама. Aудан - геометриялық пішіндерге байланысты негізгі шамалардың бірі болып табылады. Қарапайым жағдайда аудан пішін ішіне сиятын бірлік квадраттардың санымен өлшенеді. Ауданды жобалап өлшеу үшін [[планиметр]] құралын қолданады.

Ауданы тең пішіндерді тең шамалы пішіндер деп атайды. 

== Аксиомалар ==
# Тең фигуралардың аудандары да тең.
# Егер фигура қандай да бір сызықпен екі басқа фигураларға бөлінсе, онда берілген фигураның ауданы осы бөліктердің аудандарының қосындысына тең.
# Қабырғасы бір өлшем бірлігіне тең квадраттың ауданы 1-ге тең.
== Аудан анықтамасы ==
[[Сурет:Jordan illustration.png|right|thumb|Берілген жиын егер Жордан ішкі өлшемі сыртқы өлшеміне тең болса Жордан бойынша өлшемді болып табылады]]
Аудан — келесі қасиеттері орындалатын функция:
* Оң, яғни аудан теріс бола алмайды;
* [[Аддитивті шама]], яғни пішін ауданы осы пішінді құрайтын бөлшектер аудандарының қосындысына тең;
* Инварианттілік,[[Конгруэнттілік (геометрия)|конгруэнтті]] пішіндердің аудандары тең;
* Нормаланған, яғни бірлік [[квадрат]]тың ауданы 1-ге тең.
Осы анықтамадан ауданның өспелілігі шығады, яғни пішін бөлігінің ауданы толық пішін ауданынан аспайды{{sfn|Геометрия|1966|с=7—13}}.
==Салдары ==
Жоғарыдағы аксиомалардан келесі салдар шығады:
# Егер бір фигура екінші фигураның бөлігі болса, онда бұл фигураның ауданы екінші фигураның ауданынан кем болады.
# Тең құрамды фигуралардың аудандары да тең болады.

== Аудандарды есептеу==
=== [[Көпбұрыштылар]] ===

{| class="wikitable"
! [[Фигура (геометрия)|Фигура]]
! Формула
! Айнымалылар
|-
| [[Дұрыс үшбұрыш]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{4}s^2</math>
| <math>s</math> — қабырғалары ұзындығы
|-
| [[Тікбұрышты үшбұрыш]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{ab}{2}</math>
| <math>a</math> мен <math>b</math> — катеттері
|-
| rowspan="4" | Кез келген [[үшбұрыш]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}ah</math>
| <math>a</math> — қабырғасы, <math>h</math> — сол қабырғаға түсірілген биіктік
|-
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}ab\sin\alpha</math>
| <math>a</math> мен <math>b</math> — кез келген екі қабырғалары, <math>\alpha</math> — солардың араларындағы бұрыш
|-
| style="text-align:center" | <math>\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math> <br/> ([[Герон формуласы]])
| <math>a</math>, <math>b</math> мен <math>c</math> — қабырғалары, <math>p</math> — жарты периметрі <math>\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)</math>
|-
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}</math>
| <math>(x_0;y_0)</math>, <math>(x_1;y_1)</math>, <math>(x_2;y_2)</math> — үшбұрыш төбелері координаттары (сағат тілімен есептегенде оң сан, әйтпесе теріс болады)
|-
| [[Квадрат]]
| style="text-align:center" | <math>s^2</math>
| <math>s</math> — квадрат қабырғасы ұзындығы
|-
| [[Тік төртбұрыш]]
| style="text-align:center" | <math>ab</math>
| <math>a</math> мен <math>b</math> — тік төртбұрыш қабырғалары (ұзындығы мен ені)
|-
| [[Ромб]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}cd</math>
| <math>c</math> мен <math>d</math> — ромб диагональдары ұзындықтары
|-
| rowspan="2" | [[Параллелограмм]]
| style="text-align:center" | <math>ah</math>
| <math>a</math> мен <math>h</math> — бір қабырғасы мен оған түсірілген биіктік ұзындықтары
|-
| style="text-align:center" | <math>ab\sin\alpha</math>
| <math>a</math> мен <math>b</math> — сыбайлас қабырғалары мен араларындағы <math>\alpha</math> бұрышы
|-
| [[Трапеция]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}(a+b)h</math>
| <math>a</math> мен <math>b</math> — трапеция негізі, <math>h</math> — биіктігі
|-
| Кез келген [[төртбұрыш]]
| style="text-align:center" | <math>\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos\alpha}</math> <br/> ([[Брахмагупта формуласы]])
| <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> — төрбұрыш қабырғалары , <math>p</math> — жарты периметрі, <math>\alpha</math> — қарама-қарсы бұрыштарының жарты қосындысы
|-
| [[Дұрыс алтыбұрыш]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2</math>
| <math>s</math> — қабырғасы ұзындығы
|-
| [[Дұрыс сегізбұрыш]]
| style="text-align:center" | <math>2(1+\sqrt{2})s^2</math>
| <math>s</math> — қабырғасы ұзындығы
|-
| [[Дұрыс көпбұрыш]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{P^2/n}{4\operatorname{tg}(\pi/n)}</math>
| <math>P</math> — периметрі, <math>n</math> — қабырғалары саны
|-
| Кез келген [[көпбұрыш]] (дөңес не емес)
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}\left|\sum^{n}_{i=1}(x_{i+1}-x_i)(y_{i+1}+y_i)\right|</math> <br/> ([[трапециялар тәсілі]])
| <math>(x_i;y_i)</math> — көпбұрыш төбелерінің координаттары сағат тілі бойынша: <math>(x_{n+1};y_{n+1})=(x_1;y_1)</math>; егер тесігі болса бағыты сыртқы шекарасы бағытына қарсы алынады
|}

== Дереккөздер ==
{{дереккөздер}}

[[Санат:Физикалық шамалар]]
[[Санат:Геометрия]]
[[Санат:Аудандар (өлшем)]]